Considere a função F(x, y)=x^2 y-x y^2+y^33-x^33. Usando o Teorema da Função implícita, calcule d yd x em (0,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Função Implícita. A gente tem uma função dada por F(x, y) = x^2 y - x y^2 + y^33 - x^33 e precisa encontrar a derivada dydx no ponto (0, 3) . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de F em relação a x e y .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de F em relação a x , que a gente denota por Fx . Isso significa que tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x :
Fx = partialpartial x ( x^2 y - x y^2 + y^33 - x^33 )

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de F em relação a y , que a gente denota por Fy . Aqui, tratamos x como uma constante e derivamos em relação a y :
Fy = partialpartial y ( x^2 y - x y^2 + y^33 - x^33 )

Passo 4

Segundo o Teorema da Função Implícita, a derivada dydx pode ser encontrada usando a fórmula:
dydx = -FxFy
Então, a gente vai usar as derivadas parciais que calculamos para achar dydx .

Passo 5

Vamos agora calcular Fx e Fy no ponto (0, 3) .
Primeiro, calculando Fx :
Fx = 2x y - y^2 - x^2
Substituindo x = 0 e y = 3 :
Fx(0, 3) = 2(0)(3) - (3)^2 - (0)^2 = 0 - 9 - 0 = -9
Agora, calculando Fy :
Fy = x^2 - 2x y + y^2
Substituindo x = 0 e y = 3 :
Fy(0, 3) = (0)^2 - 2(0)(3) + (3)^2 = 0 - 0 + 9 = 9

Passo 6

Agora, usando a fórmula do Teorema da Função Implícita:
dydx = -FxFy = --99 = 1

Resposta

O valor de dydx em (0, 3) é 1.

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