Considere a função
. Usando o Teorema da Função implícita, calcule
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Função Implícita. A gente tem uma função dada por
e precisa encontrar a derivada
no ponto
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
. Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Passo 4
Segundo o Teorema da Função Implícita, a derivada
pode ser encontrada usando a fórmula:
Então, a gente vai usar as derivadas parciais que calculamos para achar
.
Passo 5
Vamos agora calcular
e
no ponto
.
Primeiro, calculando
:
Substituindo
e
:
Agora, calculando
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, usando a fórmula do Teorema da Função Implícita:
Resposta
O valor de
em
é 1.