Exercício 4: Seja E o sólido limitado pelas superfícies z=-1, x=0, y=raizx e z=-y. Escreva a integral abaixo como uma integral iterada de 6 formas equivalentes diferentes
integral triplaE f(x, y, z) d V

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
integral triplaEf(x,y,z),dV
como seis integrais iteradas em todas as ordens possíveis de x,y,z. O corpo de matéria é mudança de ordem de integração em integrais triplas, e vamos precisar identificar a projeção de E no plano xy e as cotas em z.

Passo 2

As superfícies são
;x=0,
;y=raizx,
;z=-1 e
;z=-y.
Da desigualdade -1<= z<= -y obtemos -y>= -1 Rightarrow y<=1 e como y=raizx implica y>=0, a projeção no plano xy é
0<= y<=1, 0<= x<= y^2
Para cada (x,y) nessa região, z varia de -1 até -y.

Passo 3

Integrais com x como variável mais externa ( x de 0 a 1):
  • Ordem (x,y,z): para cada xin[0,1],
    ;yin[raizx,1],
    ;zin[-1,-y].
  • Ordem (x,z,y): para cada xin[0,1],
    ;zin[-1,-raizx],
    ;yin[raizx,-z].

Passo 4

Integrais com y como variável mais externa ( y de 0 a 1):
  • Ordem (y,x,z): para cada yin[0,1],
    ;xin[0,y^2],
    ;zin[-1,-y].
  • Ordem (y,z,x): para cada yin[0,1],
    ;zin[-1,-y],
    ;xin[0,y^2].

Passo 5

Integrais com z como variável mais externa ( z de -1 a 0):
  • Ordem (z,x,y): para cada zin[-1,0],
    ;xin[0,(-z)^2],
    ;yin[raizx,-z].
  • Ordem (z,y,x): para cada zin[-1,0],
    ;yin[0,-z],
    ;xin[0,y^2].

Resposta

As seis formas equivalentes são:
integralx=0^1integraly=raizx^1integralz=-1^-yf(x,y,z),dz,dy,dx,
integralx=0^1integralz=-1^-raizxintegraly=raizx^-zf(x,y,z),dy,dz,dx,
integraly=0^1integralx=0^y^2integralz=-1^-yf(x,y,z),dz,dx,dy,
integraly=0^1integralz=-1^-yintegralx=0^y^2f(x,y,z),dx,dz,dy,
integralz=-1^0integralx=0^z^2integraly=raizx^-zf(x,y,z),dy,dx,dz,
integralz=-1^0integraly=0^-zintegralx=0^y^2f(x,y,z),dx,dy,dz

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