Exercício 5: Seja
uma esfera de raio
e
o sólido limitado por
(que é chamado de bola fechada de raio
. Prove que a área de
é
e que o volume de B é
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a área da superfície
de raio
e o volume do sólido
(bola fechada) de mesmo raio. Para isso vamos usar coordenadas esféricas:
– No cálculo de área de fazemos um integral de superfície em
.
– No cálculo de volume de fazemos um integral triplo usando o jacobiano
.
– No cálculo de área de
– No cálculo de volume de
Passo 2
Para a área de
note que, em esféricas, um elemento de área sobre
é
Integrando
de
a
e
de
a
, vem
Passo 3
Para o volume de
usamos o elemento de volume em esféricas
com
,
,
. Assim
Resposta
Área de
:
.
Volume de :
.
Volume de