Exercício 5: Seja S uma esfera de raio r0 e B o sólido limitado por S (que é chamado de bola fechada de raio r0). Prove que a área de S é 4 pi r0 ^2 e que o volume de B é (4 pi r0 ^3) / 3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a área da superfície S de raio r0 e o volume do sólido B (bola fechada) de mesmo raio. Para isso vamos usar coordenadas esféricas:
– No cálculo de área de S fazemos um integral de superfície em rho=r0.
– No cálculo de volume de B fazemos um integral triplo usando o jacobiano rho^2sinvarphi.

Passo 2

Para a área de S note que, em esféricas, um elemento de área sobre rho=r0 é
dS ;=; r0^2,sinvarphi,dvarphi,dtheta
Integrando theta de 0 a 2pi e varphi de 0 a pi, vem
A(S) =integral0^2pi!integral0^pir0^2sinvarphi,dvarphi,dtheta =r0^2l(integral0^2pidthetar)l(integral0^pisinvarphi,dvarphir) =r0^2,(2pi),(2) =4pi,r0^2

Passo 3

Para o volume de B usamos o elemento de volume em esféricas
dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta,
com rhoin[0,r0], varphiin[0,pi], thetain[0,2pi]. Assim
V(B) =integral0^r0!integral0^pi!integral0^2pirho^2sinvarphi,dtheta,dvarphi,drho =l(integral0^2pidthetar)l(integral0^pisinvarphi,dvarphir)l(integral0^r0rho^2drhor) =(2pi),(2),r0^33 =4pi,r0^33

Resposta

Área de S: 4pi,r0^2.
Volume de B: 4pi,r0^33.

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