Exercício 3: Considere a integral abaixo, sendo H o sólido limitado pelas superfícies cujas equações são z+y^2=1,1+x=0, y=-z-1 e -x+z=-4.
integral triplaH-2 y d V
a) Monte a integral, ou seja, determine os limites de integração.
b) Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
integral triplaH-2y,dV
em que H é o sólido limitado pelas superfícies
z = 1 - y^2, x = -1, z = -y - 1, z = x - 4
Para montar a integral, precisamos:
  1. Encontrar os limites de y a partir da interseção de
    ,z=-y-1 e ,z=1-y^2.
  2. Para cada y, achar os limites de z entre
    ,z=-y-1 (plano inferior) e ,z=1-y^2 (superfície superior).
  3. Para cada par (y,z), achar os limites de x entre
    ,x=-1 e ,x=z+4 (da reta -x+z=-4).

Passo 2

Determinamos o intervalo de y resolvendo
-y-1 = 1 - y^2
iff y^2 - y -2 = 0
iff (y-2)(y+1)=0
Logo yin[-1,2].

Passo 3

Usando esses limites, montamos a integral em ordem dx,dz,dy:
integraly=-1^2 integralz=-y-1^,1-y^2 integralx=-1^,z+4 (-2y),dx,dz,dy

Passo 4

Agora calculamos em etapas:
  1. Integral em x:
integralx=-1^z+4(-2y),dx = -2yl[(z+4)-(-1)r] = -2y,(z+5)
  1. Integral em z:
integralz=-y-1^1-y^2 -2y,(z+5),dz = -2yintegral-y-1^1-y^2(z+5),dz
Calculemos
integral(z+5),dz =z^22+5z,
avaliado de z=-y-1 a z=1-y^2, resulta
10 + tfrac12y^4 - tfrac132y^2 +4y
Multiplicando por -2y obtemos o integrando em y:
-2yl(10 + tfrac12y^4 - tfrac132y^2 +4yr) =-y^5 +13y^3 -8y^2 -20y
  1. Integral em y:
integral-1^2(-y^5 +13y^3 -8y^2 -20y),dy =l[-tfracy^66 +tfrac13y^44 -tfrac8y^33 -10y^2r]-1^2 =-tfrac634

Resposta

O valor da integral é -tfrac634.

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