Seja y=t^3 x com que x=x(t) é uma função derivável até a 2^a Ordem. Verifique que
d^2 yd t^2=6 t x+6 t^2 d xd t+t^3 d^2 xd t^2

Passo 1

O enunciado define
y(t)=t^3,x(t),
onde x(t) é duas vezes derivável. Precisamos verificar que
d^2ydt^2 = 6,t,x + 6,t^2,dxdt + t^3,d^2xdt^2
Para isso vamos aplicar a regra do produto nas derivadas.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de y usando a regra do produto ddt(u,v)=u',v+u,v':
dydt = ddtl(t^3r),x(t) + t^3,ddtl(x(t)r) = 3,t^2,x(t) + t^3,dxdt

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter d^2ydt^2. Trataremos cada termo separadamente:
  1. Para 3,t^2,x(t):
ddtl(3,t^2,x(t)r) = 6,t,x(t) + 3,t^2,dxdt
  1. Para t^3,dxdt:
ddtl(t^3,dxdtr) = 3,t^2,dxdt + t^3,d^2xdt^2
Somando os dois resultados, obtemos
d^2ydt^2 = l(6,t,x + 3,t^2,tfracdxdtr) + l(3,t^2,tfracdxdt + t^3,tfracd^2xdt^2r) = 6,t,x + 6,t^2,dxdt + t^3,d^2xdt^2

Resposta

d^2ydt^2 = 6,t,x + 6,t^2,dxdt + t^3,d^2xdt^2

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