Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sin \left(\frac{x}{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função é homogênea e, se for, determinar o grau de homogeneidade. A função dada é
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\sin\!\left(\frac{x}{y}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y) está acima.
  • Há uma razão \dfrac{x}{y} dentro do seno, portanto o domínio exige y\neq 0.
  • A tarefa é: (i) checar a propriedade de homogeneidade e (ii) encontrar o grau, se a propriedade for válida.

Passo 2

Definição e o que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Dizemos que uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo \lambda>0 (ou conforme a definição adotada), vale
f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{k} f(x,y).
  • Nesta definição:
    • \lambda é um escalar real positivo que multiplica as duas entradas.
    • k é um número real chamado grau de homogeneidade.
  • Uma propriedade prática útil: se g(x,y) é homogênea de grau a e h(x,y) é homogênea de grau b, então o produto g\cdot h é homogêneo de grau a+b. Vamos usar essa ideia implicitamente ao analisar os fatores da função.

Passo 3

Verificação direta do comportamento ao escalar as variáveis. Calcular f(\lambda x,\lambda y) com \lambda genérico (assumindo \lambda\neq 0 e y\neq 0):
f(\lambda x,\lambda y) = \sqrt{(\lambda x)^{2}+(\lambda y)^{2}}\;\sin\!\left(\frac{\lambda x}{\lambda y}\right).
Agora simplificar cada parte separadamente:
  • Para a raiz quadrada:
\sqrt{(\lambda x)^{2}+(\lambda y)^{2}} =\sqrt{\lambda^{2}(x^{2}+y^{2})} =|\lambda|\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(A raiz de \lambda^{2} é |\lambda|.)
  • Para o seno:
\sin\!\left(\frac{\lambda x}{\lambda y}\right) =\sin\!\left(\frac{x}{y}\right),
pois o fator \lambda cancela na razão.
Juntando as duas simplificações:
f(\lambda x,\lambda y) =|\lambda|\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\sin\!\left(\frac{x}{y}\right) =|\lambda|\,f(x,y).

Passo 4

Interpretação do resultado e observações sobre \lambda positivo/negativo.
  • Encontramos f(\lambda x,\lambda y)=|\lambda|\,f(x,y).
  • Se restringirmos \lambda>0, então |\lambda|=\lambda e assim
f(\lambda x,\lambda y)=\lambda\,f(x,y).
Isso significa que, no sentido usual (com \lambda>0), f é homogênea de grau 1.
  • Se quisermos exigir a igualdade para todos os \lambda\in\mathbb{R} (incluindo \lambda<0), a expressão deveria ser f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{k}f(x,y) para todo \lambda. Para k=1 isso exigiria f(\lambda x,\lambda y)=\lambda f(x,y), mas nós temos |\lambda| f(x,y). Como regra geral |\lambda|\neq\lambda quando \lambda<0, a igualdade com \lambda^{1} falha para escala negativa (a menos que f(x,y)=0). Por isso a afirmação forte para todos \lambda\in\mathbb{R} não vale.
  • Conclusão prática: adotando a definição padrão com \lambda>0, f é homogênea de grau 1.

Passo 5

Intuição rápida e exemplo que reforça a ideia (pra fixar).
  • O fator \sqrt{x^{2}+y^{2}} é homogêneo de grau 1 porque substituir (x,y) por (\lambda x,\lambda y) traz um |\lambda| multiplicando a raiz.
  • A função \sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right) é homogênea de grau 0 porque depende apenas da razão \dfrac{x}{y}, que é invariante por escala simultânea.
  • Produto: grau total = 1+0=1. Isso coincide com o cálculo direto que fizemos.

Passo 6

Observações finais e cuidado com o domínio e definições.
  • Lembrar que a função só está definida quando y\neq 0.
  • Em muitos exercícios e em provas o teste de homogeneidade é pedido com \lambda>0, então a resposta prática é: homogênea de grau 1.
  • Se alguém exigir homogeneidade para escala negativa também, é preciso explicar a diferença por causa do valor absoluto gerado pela raiz.

Resposta

Sim. Grau 1.

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