Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função é homogênea e, se for, determinar o grau de homogeneidade. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
está acima. - Há uma razão
dentro do seno, portanto o domínio exige . - A tarefa é: (i) checar a propriedade de homogeneidade e (ii) encontrar o grau, se a propriedade for válida.
Passo 2
Definição e o que vamos usar (passo-a-passo didático).
- Dizemos que uma função
é homogênea de grau se, para todo (ou conforme a definição adotada), vale
- Nesta definição:
-
é um escalar real positivo que multiplica as duas entradas. -
é um número real chamado grau de homogeneidade.
-
- Uma propriedade prática útil: se
é homogênea de grau e é homogênea de grau , então o produto é homogêneo de grau . Vamos usar essa ideia implicitamente ao analisar os fatores da função.
Passo 3
Verificação direta do comportamento ao escalar as variáveis. Calcular
com
genérico (assumindo
e
):
Agora simplificar cada parte separadamente:
- Para a raiz quadrada:
(A raiz de
é
.)
- Para o seno:
pois o fator
cancela na razão.
Juntando as duas simplificações:
Passo 4
Interpretação do resultado e observações sobre
positivo/negativo.
- Encontramos
. - Se restringirmos
, então e assim
Isso significa que, no sentido usual (com
),
é homogênea de grau
.
- Se quisermos exigir a igualdade para todos os
(incluindo ), a expressão deveria ser para todo . Para isso exigiria , mas nós temos . Como regra geral quando , a igualdade com falha para escala negativa (a menos que ). Por isso a afirmação forte para todos não vale. - Conclusão prática: adotando a definição padrão com
, é homogênea de grau .
Passo 5
Intuição rápida e exemplo que reforça a ideia (pra fixar).
- O fator
é homogêneo de grau porque substituir por traz um multiplicando a raiz. - A função
é homogênea de grau porque depende apenas da razão , que é invariante por escala simultânea. - Produto: grau total =
. Isso coincide com o cálculo direto que fizemos.
Passo 6
Observações finais e cuidado com o domínio e definições.
- Lembrar que a função só está definida quando
. - Em muitos exercícios e em provas o teste de homogeneidade é pedido com
, então a resposta prática é: homogênea de grau . - Se alguém exigir homogeneidade para escala negativa também, é preciso explicar a diferença por causa do valor absoluto gerado pela raiz.
Resposta
Sim. Grau
.