Considere a função f(x)=raizx-3, utilizando APENAS a definição de derivada, calcule f^prime(5).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=raizx-3 e pede a derivada em x=5. Vamos usar a definição de derivada em um ponto, que diz
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h

Passo 2

Aplicando a definição para a=5, escrevemos o quociente de diferença:
f(5+h)-f(5)h =raiz(5+h)-3-raiz5-3h

Passo 3

Simplificando as expressões dentro das raízes, temos
raiz2+h-raiz2h

Passo 4

Para avaliar o limite, racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raiz2+h+raiz2:
raiz2+h-raiz2hcdotraiz2+h+raiz2raiz2+h+raiz2 =(2+h)-2hl(raiz2+h+raiz2r)

Passo 5

No numerador fica h, que cancela com o h do denominador:
hhl(raiz2+h+raiz2r) =1raiz2+h+raiz2

Passo 6

Agora tomamos o limite hto0. Como raiz2+htoraiz2, o denominador fica 2raiz2. Logo,
f'(5)=limhto01raiz2+h+raiz2 =12raiz2

Resposta

f'(5)=12raiz2

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