Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
y=x^2+2, y=-x-1, x=0 e x=1;

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar a área da região delimitada pelas curvas
y = x^2 + 2, y = -x - 1, x = 0, x = 1
Este é um problema de cálculo de área usando integração definida. Para resolver, precisamos:
  1. Identificar qual curva está acima em cada intervalo relevante de x.
  2. Decidir em que variável integrar (em x ou em y).
  3. Montar e calcular a integral correspondente.

Passo 2

Vamos comparar as duas funções em todo o intervalo 0<= x<=1. Primeiro, tentamos achar interseções entre a parábola e a reta:
x^2 + 2 = -x - 1 Longrightarrow x^2 + x + 3 = 0
O discriminante é De<a = 1 - 12 = -11<0, logo não há interseções reais. Em x=0,
yparábola = 0^2 + 2 = 2, yreta = -0 - 1 = -1, á
e em x=1,
yparábola = 1^2 + 2 = 3, yreta = -1 - 1 = -2 á
Portanto, sobre 0<= x<=1, a parábola y=x^2+2 fica sempre acima da reta y=-x-1. As retas verticais x=0 e x=1 fecham lateralmente a região, que é um “trapézio curvo” entre as duas funções.

Passo 3

Para cada abscissa x em [0,1], o valor de y varia de
ymin = -x - 1 até ymax = x^2 + 2 é
Isso sugere usar integração em x, pois a região é naturalmente descrita por tiras verticais. A largura de cada tira é dx e a altura é
ymax-ymin = (x^2+2) - (-x-1) = x^2 + x + 3

Passo 4

Montamos a integral da área A como
A = integralx=0^1l[(x^2+2)-(-x-1)r],dx = integral0^1(x^2 + x + 3),dx
Calculemos:
integral0^1(x^2 + x + 3),dx = [x^33 + x^22 + 3x]0^1 = l(tfrac13 + tfrac12 + 3r) - 0 = 13 + 12 + 3 = 2+36 + 3 = 56 + 186 = 236

Resposta

A área da região é
A = 236

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