Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
e
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar e esboçar a área da região delimitada pelas curvas
Este é um problema de cálculo de área usando integração definida. Para resolver, precisamos:
- Identificar qual curva está acima em cada intervalo relevante de
. - Decidir em que variável integrar (em
ou em ). - Montar e calcular a integral correspondente.
Passo 2
Vamos comparar as duas funções em todo o intervalo
. Primeiro, tentamos achar interseções entre a parábola e a reta:
O discriminante é
, logo não há interseções reais. Em
,
e em
,
Portanto, sobre
, a parábola
fica sempre acima da reta
. As retas verticais
e
fecham lateralmente a região, que é um “trapézio curvo” entre as duas funções.
Passo 3
Para cada abscissa
em
, o valor de
varia de
Isso sugere usar integração em
, pois a região é naturalmente descrita por tiras verticais. A largura de cada tira é
e a altura é
Passo 4
Montamos a integral da área
como
Calculemos:
Resposta
A área da região é