Use integração por partes para calcular as integrais:
integral 3 x^2 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 3x^2 ln x , dx. Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando o método de integração por partes, que é uma técnica muito útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da integração por partes e entender como escolher qual parte da função será u e qual será dv.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Nessa fórmula, precisamos identificar qual parte da nossa integral será u e qual será dv. Uma boa estratégia é escolher u como a função que fica mais simples quando derivada, e dv como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Para a nossa integral integral 3x^2 ln x , dx, vamos escolher:
u = ln x e dv = 3x^2 , dx
Agora, vamos calcular du e v. Derivando u:
du = 1x , dx
E integrando dv:
v = integral 3x^2 , dx = x^3

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral 3x^2 ln x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x cdot x^3 - integral x^3 cdot 1x , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
= x^3 ln x - integral x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante integral x^2 , dx:
integral x^2 , dx = x^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo essa resultado de volta na expressão anterior:
x^3 ln x - ( x^33 ) + C
Podemos fatorar x^3 para simplificar:
x^3 ( ln x - 13 ) + C

Resposta

A integral integral 3x^2 ln x , dx é igual a:
x^3 ( ln x - dfrac13 ) + C
onde C é a constante de integração.

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