Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
y=1+x^3, y=2-x, x=-1 e x=0;

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano xy limitada pelas curvas y = 1 + x^3, y = 2 - x e pelas retas verticais x = -1 e x = 0. O conteúdo aplicado é cálculo de área por integração definida.

Passo 2

Determine os valores de y nas bordas verticais:
em x = -1
y1 = 1 + (-1)^3 = 0, y2 = 2 - (-1) = 3,
em x = 0
y1 = 1 + 0^3 = 1, y2 = 2 - 0 = 2
Esboce o gráfico traçando as retas x=-1, x=0, a cúbica que vai de (-1,0) a (0,1) e a reta que vai de (-1,3) a (0,2), sombreando a região entre elas.

Passo 3

Para cada xin[-1,0], compare as funções
yreta = 2 - x e ycúbica = 1 + x^3 ú
No intervalo dado temos
2 - x > 1 + x^3,
portanto a reta está acima da cúbica.

Passo 4

Como a região é “verticalmente simples” (delimitada por x=-1 e x=0 e entre duas funções y=f1(x) e y=f2(x)), é preferível integrar em relação a x.

Passo 5

A área vale
A = integral-1^0 l[(2 - x) - (1 + x^3)r],dx = integral-1^0 l(1 - x - x^3r),dx
Calcule o antiderivado:
integral (1 - x - x^3),dx = x - tfracx^22 - tfracx^44,
avaliando de -1 a 0:
A = l[x - tfracx^22 - tfracx^44r]-1^0 = l(0 - l(-1 - tfrac12 - tfrac14r)r) = tfrac74

Resposta

A área da região é tfrac74.

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