Seja X subset wp(N). Se cap X neq emptyset então X não é enumerável.

Passo 1

O enunciado afirma que seja Xsubsetwp(N). Se capXneqemptyset então X não é enumerável. O conteúdo envolve noções de cardinalidade e enumerabilidade. Para testar essa afirmação, vamos buscar um contraexemplo: um conjunto Xsubsetwp(N) que seja enumerável e cuja interseção seja não vazia.

Passo 2

Definimos
X = An mid ninN,
onde
An = 0,,n
Há uma bijeção phicolonNtoX dada por phi(n)=An. Logo, X é enumerável.

Passo 3

Calculamos a interseção:
capninNAn =xinNmid xin An forall n
Como cada An contém o elemento 0 e não há outro elemento comum a todos, segue que
capninNAn = 0neqemptyset

Passo 4

Portanto X é enumerável e capXneqemptyset, mostrando que a afirmação do enunciado é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é
X=0,n:ninN,
pois capX=0neqemptyset e X é enumerável.

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