Verificação de Conceitos
1
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede que a gente explique, em termos intuitivos e gráficos, cinco tipos de limites de uma função
. O conteúdo envolve as definições de limite (
–
) e a interpretação geométrica no gráfico de
, incluindo limites laterais e assíntotas.
Passo 2
(a) Dois-lados:
significa que, à medida que
se aproxima de
tanto pela esquerda quanto pela direita, os valores de
ficam arbitrariamente próximos de
.
Esboço: no gráfico, para qualquer faixa horizontal de altura
, existe uma faixa vertical
de largura
tal que o arco da curva que cai nessa faixa vertical está totalmente contido na faixa horizontal.
Descrição do desenho: um ponto em com abertura (círculo vazio) em
, setas da curva vindas de ambos os lados se aproximando desse ponto.
Esboço: no gráfico, para qualquer faixa horizontal
Descrição do desenho: um ponto em
Passo 3
(b) Lateral direita:
significa que só consideramos
, aproximando-se de
pelo lado direito. Para todo
existe
tal que, se
, então
.
Esboço: igual ao caso (a), mas só a parte da curva à direita de se aproxima do círculo vazio em
.
Esboço: igual ao caso (a), mas só a parte da curva à direita de
Passo 4
(c) Lateral esquerda:
é análogo ao item (b), mas aproximando
de
vindo do lado esquerdo.
Esboço: só o ramo da curva com se aproxima do círculo vazio em
.
Esboço: só o ramo da curva com
Passo 5
(d) Limite infinito:
quer dizer que, quando
chega perto de
(por qualquer lado), os valores de
crescem sem limite. Formalmente, para todo
existe
tal que, se
, então
.
Esboço: a curva vai “para cima” indefinidamente perto da reta vertical , indicando que ali há uma assíntota vertical.
Esboço: a curva vai “para cima” indefinidamente perto da reta vertical
Passo 6
(e) Limite no infinito:
significa que, ao deixarmos
crescer sem parar, os valores de
se aproximam arbitrariamente de
. Formalmente, para todo
existe
tal que, se
, então
.
Esboço: a curva se aproxima cada vez mais da reta horizontal à medida que avança para a direita, mostrando uma assíntota horizontal.
Esboço: a curva se aproxima cada vez mais da reta horizontal
Resposta
(a) Dois-lados: aproximação de
a
vindo de ambos os lados de
.
(b) Direita: aproximação de a
só quando
e
.
(c) Esquerda: aproximação de a
só quando
e
.
(d) Infinito: cresce sem limite quando
, gerando assíntota vertical
.
(e) No infinito: tende a
quando
, gerando assíntota horizontal
.
(b) Direita: aproximação de
(c) Esquerda: aproximação de
(d) Infinito:
(e) No infinito: