Verificação de Conceitos

1
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
(a) lim x a f(x)=L
(b) lim x a^+ f(x)=L
(c) lim x a^- f(x)=L
(d) lim x a f(x)=infty
(e) lim x infty f(x)=L

Passo 1

O enunciado pede que a gente explique, em termos intuitivos e gráficos, cinco tipos de limites de uma função f. O conteúdo envolve as definições de limite ( epsilon de<a) e a interpretação geométrica no gráfico de f, incluindo limites laterais e assíntotas.

Passo 2

(a) Dois-lados: limxto af(x)=L significa que, à medida que x se aproxima de a tanto pela esquerda quanto pela direita, os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L.
Esboço: no gráfico, para qualquer faixa horizontal (L-varepsilon,L+varepsilon) de altura varepsilon>0, existe uma faixa vertical (a-de<a,a+de<a) de largura de<a>0 tal que o arco da curva que cai nessa faixa vertical está totalmente contido na faixa horizontal.
Descrição do desenho: um ponto em x=a com abertura (círculo vazio) em (a,L), setas da curva vindas de ambos os lados se aproximando desse ponto.

Passo 3

(b) Lateral direita: limxto a^+f(x)=L significa que só consideramos x>a, aproximando-se de a pelo lado direito. Para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se 0<x-a<de<a, então lvert f(x)-Lrvert<varepsilon.
Esboço: igual ao caso (a), mas só a parte da curva à direita de x=a se aproxima do círculo vazio em (a,L).

Passo 4

(c) Lateral esquerda: limxto a^-f(x)=L é análogo ao item (b), mas aproximando x de a vindo do lado esquerdo.
Esboço: só o ramo da curva com x<a se aproxima do círculo vazio em (a,L).

Passo 5

(d) Limite infinito: limxto af(x)=infty quer dizer que, quando x chega perto de a (por qualquer lado), os valores de f(x) crescem sem limite. Formalmente, para todo M>0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-a|<de<a, então f(x)>M.
Esboço: a curva vai “para cima” indefinidamente perto da reta vertical x=a, indicando que ali há uma assíntota vertical.

Passo 6

(e) Limite no infinito: limxtoinftyf(x)=L significa que, ao deixarmos x crescer sem parar, os valores de f(x) se aproximam arbitrariamente de L. Formalmente, para todo varepsilon>0 existe N tal que, se x>N, então lvert f(x)-Lrvert<varepsilon.
Esboço: a curva se aproxima cada vez mais da reta horizontal y=L à medida que avança para a direita, mostrando uma assíntota horizontal.

Resposta

(a) Dois-lados: aproximação de f(x) a L vindo de ambos os lados de x=a.
(b) Direita: aproximação de f(x) a L só quando x>a e xto a.
(c) Esquerda: aproximação de f(x) a L só quando x<a e xto a.
(d) Infinito: f(x) cresce sem limite quando xto a, gerando assíntota vertical x=a.
(e) No infinito: f(x) tende a L quando xtoinfty, gerando assíntota horizontal y=L.

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