Uma peça metálica possui temperatura T (em C^{\circ} ) no tempo t (em minutos) dada pela função
T(t)=T_{\mathrm{amb}}+\left(T_{0}-T_{\mathrm{amb}}\right) e^{-k t}
onde T_{\text {amb }} é a temperatura do ambiente, k é a constante de resfriamento da peça e T_{0} é a temperatura inicial da peça.
Sabendo que ao deixar a peça de 150 C^{\circ} por 5 minutos em um ambiente de 25 C^{\circ}, a temperatura da peça cai para 90 C^{\circ}. Use um método numérico de sua escolha para encontrar a constante k desta peça, com erro relativo aproximado menor que 5 \%.

Passo 1

O enunciado dá a lei de resfriamento de Newton
T(t)=T_{\mathrm{amb}}+\bigl(T_{0}-T_{\mathrm{amb}}\bigr)e^{-k t}
com T_{0}=150\,^\circ\mathrm{C}, T_{\mathrm{amb}}=25\,^\circ\mathrm{C} e T(5)=90\,^\circ\mathrm{C}.
Precisamos encontrar k resolvendo
25 + 125\,e^{-5k} = 90
usando um método numérico (aqui escolhemos o método da bisseção) até que o erro relativo seja menor que 5\%.

Passo 2

Definimos a função cuja raiz é o k que queremos:
f(k) = 25 + 125\,e^{-5k} - 90.
Queremos f(k)=0. Note que
f(0)=25+125-90=60>0
f(1)=25+125e^{-5}-90\approx25+125\cdot0{,}0067-90\approx-64{,}16<0
Logo existe raiz em [0,1].

Passo 3

Aplicamos bisseção em [a,b]=[0,1]. A cada iteração calculamos
c=\frac{a+b}{2}, \quad f\text{(c)}
e substituímos o intervalo por [a,c] ou [c,b] conforme o sinal de f\text{(c)}. Paramos quando
\frac{|c_{\text{novo}}-c_{\text{ant}}|}{|c_{\text{novo}}|}<0{,}05.

Passo 4

Iterações principais:
\begin{aligned} k_1&=0{,}5,\quad f(k_1)\approx-54{,}74<0\quad\Rightarrow\\ [a,b]=[0,0{,}5],\\\ k_2&=0{,}25,\quad f(k_2)\approx-29{,}19<0\quad\Rightarrow\\ [a,b]=[0,0{,}25],\\\ k_3&=0{,}125,\quad f(k_3)\approx1{,}91>0\quad\Rightarrow\\ [a,b]=[0{,}125,0{,}25],\\\ k_4&=0{,}1875,\quad f(k_4)\approx-16{,}05<0\quad\Rightarrow\\ [a,b]=[0{,}125,0{,}1875],\\\ k_5&=0{,}15625,\quad f(k_5)\approx-7{,}77<0\quad\Rightarrow\\ [a,b]=[0{,}125,0{,}15625],\\\ k_6&=0{,}140625,\quad f(k_6)\approx-3{,}18<0\quad\Rightarrow\\ [a,b]=[0{,}125,0{,}140625],\\\ k_7&=0{,}1328125,\quad f(k_7)\approx-0{,}70<0\quad\Rightarrow\\ [a,b]=[0{,}125,0{,}1328125],\\\ k_8&=0{,}12890625,\quad f(k_8)\approx0{,}58>0\quad\Rightarrow\\ [a,b]=[0{,}12890625,0{,}1328125],\\\ k_9&=0{,}130859375,\quad f(k_9)\approx-0{,}09<0. \end{aligned}
Entre k_8=0{,}12890625 e k_9=0{,}130859375 a raiz aproximada é
k_{9/10}\approx\frac{0{,}12890625+0{,}130859375}{2}=0{,}1298828125
O erro relativo entre k_9 e k_{9/10} é
\frac{|0{,}130859375-0{,}1298828125|}{0{,}1298828125}\approx0{,}0075<0{,}05.

Resposta

A constante de resfriamento é aproximadamente
k\approx0,13\\ \text{min}^{-1}.

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