Utilize o método das secantes para encontrar uma aproximação para uma raiz da função
f(x)=\cos (x)-x
Utilize as aproximações iniciais x_{-1}=0,5 e x_{0}=1 e calcule três iterações (ou seja, encontre x_{3} ). Calcule o erro relativo aproximado em cada iteração. Utilize radianos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar uma raiz da função
f(x)=\cos(x)-x
usando o método das secantes com aproximações iniciais x_{-1}=0,5 e x_{0}=1. Vamos fazer três iterações para encontrar x_{3} e, em cada passo, calcular o erro relativo aproximado
\varepsilon_{n}=\left|\frac{x_{n}-x_{n-1}}{x_{n}}\right|.
O método das secantes usa a fórmula
x_{n+1} = x_{n} - f(x_{n}) \, \frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.

Passo 2

Calculamos primeiro
f(x_{-1})=f(0,5)=\cos(0,5)-0,5\approx0,877582562-0,5=0,377582562,
f(x_{0})=f(1)=\cos(1)-1\approx0,540302306-1=-0,459697694.
Logo a primeira iteração é
x_{1} = 1 - (-0,459697694) \frac{1-0,5}{-0,459697694-0,377582562} \approx1-\frac{-0,229848847}{-0,837280256} \approx0,725568.
O erro relativo aproximado fica
\varepsilon_{1} = \left|\frac{0,725568-1}{0,725568}\right| \approx0,3783\quad(37{,}83\%).

Passo 3

Agora calculamos
f(x_{1})=f(0,725568)=\cos(0,725568)-0,725568\approx0,74864-0,725568=0,023072.
A iteração seguinte é
x_{2} = 0,725568 - 0,023072 \frac{0,725568-1}{0,023072-(-0,459697694)} \approx0,738683.
O erro relativo aproximado é
\varepsilon_{2} = \left|\frac{0,738683-0,725568}{0,738683}\right| \approx0,0178\quad(1{,}78\%).

Passo 4

Por fim,
f(x_{2}) =\cos(0,738683)-0,738683 \approx0,739356-0,738683 =0,000673.
E a terceira iteração dá
x_{3} = 0,738683 - 0,000673 \frac{0,738683-0,725568}{0,000673-0,023072} \approx0,739077.
O erro relativo aproximado final é
\varepsilon_{3} = \left|\frac{0,739077-0,738683}{0,739077}\right| \approx0,000533\quad(0{,}0533\%).

Resposta

Aproximação x_{3}\approx0,739077.
Erros relativos aproximados: \varepsilon_{1}\approx0,3783, \varepsilon_{2}\approx0,0178, \varepsilon_{3}\approx0,000533.

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