Considere a função g(x)=ll1x, & se x<0 0, & se x >= 0. Verifique se g(x) é contínua em x=0. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)= dfrac1x, &se x<0,[6pt] 0, &se x>=0,
e pede para verificar se g é contínua em x=0. Para isso, vamos precisar:
1. Determinar g(0).
2. Calcular limxto0^-g(x) e limxto0^+g(x).
3. Comparar esses limites com o valor de g(0) para checar a definição de continuidade.]

Passo 2

Como 0>=0, usamos o segundo ramo e obtemos
g(0)=0

Passo 3

Para o limite pela esquerda, quando x<0 vale g(x)=1/x. Logo
limxto0^-g(x) =limxto0^-1x =-infty
Isso significa que o limite lateral pela esquerda não é um número finito.

Passo 4

Para o limite pela direita, quando x>0 vale g(x)=0. Portanto
limxto0^+g(x) =limxto0^+0 =0

Passo 5

A continuidade em x=0 exigiria que
limxto0^-g(x) =limxto0^+g(x) = g(0)
Aqui vemos que
limxto0^-g(x)=-inftyneq0
enquanto
limxto0^+g(x)=0=g(0).
Como o limite pela esquerda nem sequer é finito, o limite total não existe e não coincide com g(0).

Resposta

A função g não é contínua em x=0, pois o limite pela esquerda diverge para -infty e, portanto, não coincide com o valor g(0)=0.

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