Considere a função . Verifique se g(x) é contínua em x=0. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a função
g(x)= dfrac1x, &se x<0,[6pt] 0, &se x>=0,
e pede para verificar se g é contínua em x=0. Para isso, vamos precisar: 1. Determinar g(0). 2. Calcular limxto0^-g(x) e limxto0^+g(x). 3. Comparar esses limites com o valor de g(0) para checar a definição de continuidade.]
Passo 2
Como 0>=0, usamos o segundo ramo e obtemos
g(0)=0
Passo 3
Para o limite pela esquerda, quando x<0 vale g(x)=1/x. Logo
limxto0^-g(x) =limxto0^-1x =-infty
Isso significa que o limite lateral pela esquerda não é um número finito.
Passo 4
Para o limite pela direita, quando x>0 vale g(x)=0. Portanto
limxto0^+g(x) =limxto0^+0 =0
Passo 5
A continuidade em x=0 exigiria que
limxto0^-g(x) =limxto0^+g(x) = g(0)
Aqui vemos que limxto0^-g(x)=-inftyneq0
enquanto limxto0^+g(x)=0=g(0).
Como o limite pela esquerda nem sequer é finito, o limite total não existe e não coincide com g(0).
Resposta
A função g não é contínua em x=0, pois o limite pela esquerda diverge para -infty e, portanto, não coincide com o valor g(0)=0.