Considere a função f(x)=r-x^2+x+2, se x<3 3 x-13, se x >= 3
Verifique se existe f^prime(3).

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= -x^2+x+2, & se x<3, 3x-13, & se x>=3,
e pede para verificar se existe f'(3). Lembrando que, para f ser diferenciável em x=3, é preciso que (1) f seja contínua em 3 e (2) as derivadas laterais em 3 sejam iguais.

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=3 calculando
limxto3^-f(x) e limxto3^+f(x).
Para x<3 temos -x^2+x+2, então
limxto3^-f(x) = -3^2+3+2 = -9+3+2 = -4
Para x>=3 temos 3x-13, logo
limxto3^+f(x) = 3cdot3 -13 = 9-13 = -4
Como os dois limites coincidem e valem -4, e f(3)=3cdot3-13=-4, a função é contínua em x=3.

Passo 3

Calculamos a derivada lateral esquerda usando a regra de derivação de -x^2+x+2:
f'(x) = ddx(-x^2+x+2) = -2x+1
Portanto
f'-(3) = -2cdot3 +1 = -6+1 = -5

Passo 4

Calculamos a derivada lateral direita usando a regra de derivação de 3x-13:
f'(x) = ddx(3x-13) = 3
Logo
f'+(3) = 3

Passo 5

Como f'-(3) = -5 e f'+(3) = 3 são diferentes, as derivadas laterais não coincidem. Portanto f não é diferenciável em x=3.

Resposta

Não existe f'(3).

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