Verifique se as funções abaixo são deriváveis em .
Passo 1
O enunciado dá a função a pedaços
f(x)= x^3-1x-1,&x>1,[6pt] x^2-6,&x<=1,
e pede para verificar se f é derivável em x0=1. Para isso precisamos primeiro checar continuidade em x=1 e, depois, os limites das diferenças quocientes pela direita e pela esquerda.]
Passo 2
Para x>1 simplificamos
x^3-1x-1 =(x-1)(x^2+x+1)x-1 =x^2+x+1
Logo para xto1^+
limxto1^+f(x) =limxto1^+l(x^2+x+1r) =1^2+1+1=3
Para x<=1 temos f(x)=x^2-6, de modo que
f(1)=1^2-6=-5 e limxto1^-f(x)=f(1)=-5
Passo 3
Como
limxto1^-f(x)=-5 neq3 =limxto1^+f(x),
f não é contínua em x=1. E uma função descontinua não pode ser derivável num ponto de descontinuidade.
Passo 4
Mesmo sem precisar, observamos também que as derivadas laterais seriam
f-'(1)=l(2x)r|x=1=2, f+'(1)=l(2x+1)r|x=1=3,
ou seja, nem as derivadas laterais coincidem. Isso confirma que f não é derivável em x=1.