Considere a função vetorial alpha(t)=(t, sen tt, cos tpi2-t), t in(0 ; pi2)
Calcule alpha^prime(pi3).

Passo 1

Estamos lidando com derivadas de uma função vetorial de parâmetro t:
alpha(t)=l(t,,tfracsin tt,,tfraccos ttfracpi2-tr), tin(0,tfracpi2)
O conteúdo aqui é derivação de função vetorial, fazendo derivada componente a componente e usando a regra do quociente nas duas últimas componentes.

Passo 2

Derivando cada componente em forma geral:
Primeira componente: derivada de t é 1.
Segunda componente: seja f(t)=sin tt. Pela regra do quociente:
f'(t)=tcos t-sin tt^2
Terceira componente: seja g(t)=cos ttfracpi2-t. Pela regra do quociente:
g'(t)=(-sin t)l(tfracpi2-tr)+cos tl(tfracpi2-tr)^2

Passo 3

Agora vamos avaliar em t=tfracpi3. Primeiro para f':
Sabendo que sin(tfracpi3)=tfracraiz32, cos(tfracpi3)=tfrac12 e l(tfracpi3r)^2=tfracpi^29, temos:
f'l(tfracpi3r) =tfracpi3cdottfrac12-tfracraiz32tfracpi^29 =tfracpi-3raiz36tfracpi^29 =9(pi-3raiz3)6pi^2 =3(pi-3raiz3)2pi^2

Passo 4

Agora para g' em t=tfracpi3. Note que tfracpi2-tfracpi3=tfracpi6 e l(tfracpi6r)^2=tfracpi^236. Então:
g'l(tfracpi3r) =-tfracraiz32cdottfracpi6+tfrac12tfracpi^236 =tfrac-piraiz3+612tfracpi^236 =36(-piraiz3+6)12pi^2 =3(6-piraiz3)pi^2

Passo 5

Por fim, reunindo as componentes, obtemos
alpha'l(tfracpi3r) =l(1,;3(pi-3raiz3)2pi^2,;3(6-piraiz3)pi^2r)

Resposta

alpha'(tfracpi3)=(1,,3(pi-3raiz3)2pi^2,,3(6-piraiz3)pi^2)

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