Considere a função vetorial
. Calcule
Considere os casos particulares
e
. Aplique o teorema da divergência para esses casos considerando uma esfera de raio
centrada na origem. Explique o paradoxo que surge no caso
Considere os casos particulares
Passo 1
O enunciado pede para aplicarmos o Teorema da Divergência à esfera de raio
centrada na origem, para o campo vetorial
nos casos particulares
e
. Vamos precisar de (i) calcular
em coordenadas esféricas e (ii) comparar o fluxo de
na superfície com a integral de
no volume.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, para um campo radial
, vale
Aqui
, logo
e portanto
Passo 3
Caso
:
Integral de volume:
Fluxo pela superfície
:
Logo, Teorema da Divergência confirmado.
Passo 4
Caso
:
Integral de volume (excluindo origem):
Mas o fluxo na superfície continua
Passo 5
O “paradoxo” surge porque
tem singularidade em
quando
. O Teorema da Divergência exige que
seja
em todo o volume fechado, e aqui ele deixa de ser regular na origem. Em teoria de distribuições, introduz-se
o que explica o fluxo não nulo mesmo com divergência zero longe da origem.
Resposta
Para
:
Para
:
O paradoxo se dá pela singularidade em
, que exige o uso de uma densidade de carga pontual
.