Considere a função vetorial F=r^n r. Calcule
Considere os casos particulares n=-1 e n=-2. Aplique o teorema da divergência para esses casos considerando uma esfera de raio R centrada na origem. Explique o paradoxo que surge no caso n=-2

Passo 1

O enunciado pede para aplicarmos o Teorema da Divergência à esfera de raio R centrada na origem, para o campo vetorial
F = r^n, r,
nos casos particulares n=-1 e n=-2. Vamos precisar de (i) calcular nabla!cdot F em coordenadas esféricas e (ii) comparar o fluxo de F na superfície com a integral de nabla!cdot F no volume.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, para um campo radial F = f(r), r, vale
nabla!cdot F =1r^2ddrl(r^2f(r)r)
Aqui f(r)=r^n, logo
r^2f(r)=r^n+2,ddr(r^n+2)=(n+2),r^n+1,
e portanto
nabla!cdot F =1r^2,(n+2),r^n+1 =(n+2),r^,n-1

Passo 3

Caso n=-1:
nabla!cdot F=(n+2),r^n-1=(1),r^-2=r^-2
Integral de volume:
integralVnabla!cdot F,dV =integral0^R!r^-2,(4pi r^2),dr =4piintegral0^Rdr =4pi,R
Fluxo pela superfície Scolon r=R:
Phi =ointS Fcdot d S =ointSR^-1,(R^2sintheta,dtheta,dphi) =R^-1,4pi R^2 =4pi,R
Logo, Teorema da Divergência confirmado.

Passo 4

Caso n=-2:
nabla!cdot F=(n+2),r^n-1=0(para r>0)
Integral de volume (excluindo origem):
integralVnabla!cdot F,dV =0
Mas o fluxo na superfície continua
Phi =ointSr^-2,dS =R^-2,4pi R^2 =4pineq0

Passo 5

O “paradoxo” surge porque F tem singularidade em r=0 quando n=-2. O Teorema da Divergência exige que F seja C^1 em todo o volume fechado, e aqui ele deixa de ser regular na origem. Em teoria de distribuições, introduz-se
nabla!cdotl(r^-2 rr) =4pi,de<a^3( r),
o que explica o fluxo não nulo mesmo com divergência zero longe da origem.

Resposta

Para n=-1:
Phi=integralVnabla!cdot F,dV =ointS Fcdot d S =4pi,R
Para n=-2:
integralVnabla!cdot F,dV=0, ointS Fcdot d S=4pi
O paradoxo se dá pela singularidade em r=0, que exige o uso de uma densidade de carga pontual de<a^3( r).

Exercícios relacionados