Considere a função vetorial . Calcule
Considere os casos particulares e . Aplique o teorema da divergência para esses casos considerando uma esfera de raio centrada na origem. Explique o paradoxo que surge no caso

Passo 1

O enunciado pede para aplicarmos o Teorema da Divergência à esfera de raio centrada na origem, para o campo vetorial
nos casos particulares e . Vamos precisar de (i) calcular em coordenadas esféricas e (ii) comparar o fluxo de na superfície com a integral de no volume.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, para um campo radial , vale
Aqui , logo
e portanto

Passo 3

Caso :
Integral de volume:
Fluxo pela superfície :
Logo, Teorema da Divergência confirmado.

Passo 4

Caso :
Integral de volume (excluindo origem):
Mas o fluxo na superfície continua

Passo 5

O “paradoxo” surge porque tem singularidade em quando . O Teorema da Divergência exige que seja em todo o volume fechado, e aqui ele deixa de ser regular na origem. Em teoria de distribuições, introduz-se
o que explica o fluxo não nulo mesmo com divergência zero longe da origem.

Resposta

Para :
Para :
O paradoxo se dá pela singularidade em , que exige o uso de uma densidade de carga pontual .

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