Considere a função vetorial F=r^n r. Calcule
A divergência de F.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial boldsymbol F = r^n,boldsymbol r e pede para calcular sua divergência. O conteúdo aqui é Divergência em coordenadas esféricas, e vamos precisar lembrar da fórmula que expressa nablacdotboldsymbol F quando só há componente radial.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, um campo que só tem componente radial Fr tem divergência dada por
nablacdotboldsymbol F = 1r^2partialpartial rl(r^2 Frr) ,
onde Fr = r^n no nosso caso e as componentes Ftheta, Fvarphi são zero.

Passo 3

Substituímos Fr = r^n na expressão dentro da derivada:
r^2 Fr = r^2 cdot r^n = r^n+2

Passo 4

Agora derivamos em relação a r:
partialpartial rl(r^n+2r) = (n+2),r^n+1

Passo 5

Finalmente dividimos por r^2 conforme a fórmula da divergência:
nablacdotboldsymbol F = 1r^2 ,(n+2),r^n+1 = (n+2),r^n-1

Resposta

(n+2),r^n-1

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