Nos problemas, classificar e resolver os sistemas:
l5 x-3 y-7 z=-5 4 x-y-z=2 -2 x+4 y+8 z=10

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de três equações e três incógnitas
5x - 3y - 7z = -5, 4x - y - z = 2, -2x + 4y + 8z = 10
Conteúdo: classificação de sistemas lineares via determinante da matriz de coeficientes e resolução por eliminação de Gauss.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 5 & -3 & -7 4 & -1 & -1 -2 & 4 & 8
e calculamos o determinante por regra de Sarrus ou cofactores:
det(A) =5-1 & -1 4 & 8 -(-3)4 & -1 -2 & 8 +(-7)4 & -1 -2 & 4 =-28neq0
Como det(A)neq0, o sistema é possível e determinado (SPT).

Passo 3

Usamos eliminação de Gauss para encontrar a solução. Primeiro, eliminamos x da segunda equação: multiplicamos a equação 1 por tfrac45 e subtraímos da equação 2.
45times(5x-3y-7z=-5) ;Longrightarrow; 4x-125y-285z=-4,
(4x - y - z = 2) - l(4x-tfrac125y-tfrac285z=-4r) ;Longrightarrow; 75y+235z=6 ;Longrightarrow; 7y+23z=30

Passo 4

Agora eliminamos x da terceira equação: multiplicamos a equação 1 por tfrac25 e somamos à equação 3.
25times(5x-3y-7z=-5) ;Longrightarrow; 2x-65y-145z=-2,
(-2x + 4y + 8z = 10) + l(2x-tfrac65y-tfrac145z=-2r) ;Longrightarrow; 145y+265z=8 ;Longrightarrow; 14y+26z=40

Passo 5

Ficamos com o sistema triangular em
Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo da segunda:
Substituindo em :

Resposta

O sistema é possível e determinado (SPT), e a solução única é
x=1, y=1, z=1

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