Na mecânica clássica, o momento angular de uma partícula é definido como L=r times p, onde r e p são, respectivamente, o vetor posição e o momento linear da partícula. Na mecânica quântica, o momento linear é representado por um operador hermitiano definido como p=-i hbar nabla, onde hbar é a constante de Planck normalizada. Calcule L em coordenadas cartesianas e esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para construir o operador de momento angular quântico
L = rtimes p,
sabendo que p=-ihbarnabla.
Vamos primeiro escrever isso em coordenadas cartesianas, usando a definição de produto vetorial em componentes. Depois, mudamos para coordenadas esféricas, lembrando da forma do operador nabla e das versoras esféricas hat er,hat etheta,hat ephi.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas temos
r=(x,y,z)
e
nabla=(partialx,partialy,partialz).
Logo
L =rtimes(-ihbarnabla) =-ihbar,(x,y,z)times(partialx,partialy,partialz)
Aplicando o determinante para o produto vetorial, obtemos os componentes
hat Lx =-ihbarl(y,partialz-z,partialyr),
hat Ly =-ihbarl(z,partialx-x,partialzr),
hat Lz =-ihbarl(x,partialy-y,partialxr)

Passo 3

Para passar a expressão inteira em coordenadas cartesianas, escrevemos
L =hat Lx,hat ex+hat Ly,hat ey+hat Lz,hat ez,
com hat Lx,hat Ly,hat Lz definidos acima.

Passo 4

Em coordenadas esféricas (r,theta,phi) a versora posição é r=r,hat er e o operador gradiente vale
nabla =hat er,partialr +hat etheta,1r,partialtheta +hat ephi,1rsintheta,partialphi
Então
L =r,hat ertimesl(-ihbarnablar) =-ihbar,r;hat ertimesl(hat er,partialr +hat etheta,1r,partialtheta +hat ephi,1rsintheta,partialphir)

Passo 5

Usando hat ertimes hat er=0, hat ertimes hat etheta=hat ephi e hat ertimes hat ephi=-hat etheta, obtemos
L =-ihbarl( hat ephi,partialtheta -hat etheta,1sintheta,partialphi r)
Esta é a forma do operador momento angular em coordenadas esféricas, escrita em termos de versoras hat etheta e hat ephi.

Resposta

Em coordenadas cartesianas:
hat Lx =-ihbarl(y,partialz-z,partialyr), hat Ly =-ihbarl(z,partialx-x,partialzr), hat Lz =-ihbarl(x,partialy-y,partialxr)
L =hat Lx,hat ex+hat Ly,hat ey+hat Lz,hat ez
Em coordenadas esféricas:
L =-ihbarl( hat ephi,partialtheta -hat etheta,1sintheta,partialphi r)

Exercícios relacionados