Na mecânica clássica, o momento angular de uma partícula é definido como , onde e são, respectivamente, o vetor posição e o momento linear da partícula. Na mecânica quântica, o momento linear é representado por um operador hermitiano definido como , onde é a constante de Planck normalizada. Calcule em coordenadas cartesianas e esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para construir o operador de momento angular quântico
,
sabendo que .
Vamos primeiro escrever isso em coordenadas cartesianas, usando a definição de produto vetorial em componentes. Depois, mudamos para coordenadas esféricas, lembrando da forma do operador e das versoras esféricas .

Passo 2

Em coordenadas cartesianas temos

e
.
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Aplicando o determinante para o produto vetorial, obtemos os componentes

Passo 3

Para passar a expressão inteira em coordenadas cartesianas, escrevemos
com definidos acima.

Passo 4

Em coordenadas esféricas a versora posição é e o operador gradiente vale
Então

Passo 5

Usando , e , obtemos
Esta é a forma do operador momento angular em coordenadas esféricas, escrita em termos de versoras e .

Resposta

Em coordenadas cartesianas:
Em coordenadas esféricas:

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