Na mecânica clássica, o momento angular de uma partícula é definido como
, onde
e
são, respectivamente, o vetor posição e o momento linear da partícula. Na mecânica quântica, o momento linear é representado por um operador hermitiano definido como
, onde
é a constante de Planck normalizada. Calcule
em coordenadas cartesianas e esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para construir o operador de momento angular quântico
,
sabendo que .
Vamos primeiro escrever isso em coordenadas cartesianas, usando a definição de produto vetorial em componentes. Depois, mudamos para coordenadas esféricas, lembrando da forma do operador e das versoras esféricas
.
sabendo que
Vamos primeiro escrever isso em coordenadas cartesianas, usando a definição de produto vetorial em componentes. Depois, mudamos para coordenadas esféricas, lembrando da forma do operador
Passo 2
Em coordenadas cartesianas temos
e
.
Logo
e
Logo
Aplicando o determinante para o produto vetorial, obtemos os componentes
Passo 3
Para passar a expressão inteira em coordenadas cartesianas, escrevemos
com
definidos acima.
Passo 4
Em coordenadas esféricas
a versora posição é
e o operador gradiente vale
Então
Passo 5
Usando
,
e
, obtemos
Esta é a forma do operador momento angular em coordenadas esféricas, escrita em termos de versoras
e
.
Resposta
Em coordenadas cartesianas:
Em coordenadas esféricas: