Considere a função f(t)=larctg(1 / t), se t neq 0 0, se t=0
e a função vetorial
r(t)=lang<=raizt+1, f(t), ln (t^2+1)rang<=
(a) Determine o domínio de r.
(b) Calcule o limite de r quando t 0, ou mostre que o limite não existe.
(c) Determine em que pontos a função vetorial r é contínua.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função vetorial r(t) que é composta por três funções diferentes: uma raiz quadrada, uma função arco-tangente modificada e um logaritmo natural. O que precisamos fazer aqui são três partes:
a) Encontrar o domínio da função vetorial r(t), ou seja, para quais valores de t essa função está bem definida.
b) Calcular o limite de r(t) quando t se aproxima de 0, ou ver se esse limite não existe.
c) Determinar em quais pontos a função vetorial r(t) é contínua.
Vamos por partes!

Passo 2

Parte a: Determinar o domínio de [r(t))
Primeiro, vamos entender o que é domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da função vetorial , precisamos analisar cada componente separadamente para ver onde todas elas estão definidas simultaneamente.
  1. : A raiz quadrada está definida para números reais não negativos. Então, .
  2. **, mas aqui já foi especificado o valor em , então está definida para todo real.
  3. : O logaritmo natural está definido para argumentos positivos. Como é sempre maior que 0 para todo , essa parte está sempre definida.
Então, o único restritivo é a primeira componente, que exige que .

Passo 3

Parte b: Calcular o limite de r(t) quando t 0
Vamos calcular o limite de cada componente de r(t) quando t se aproxima de 0.
  1. raizt + 1: Quando t 0, t + 1 1, então raizt + 1 raiz1 = 1.
  2. f(t) = arctg(1/t) para t neq 0 e f(0) = 0:
    • Quando t 0 pelo lado positivo ( t 0^+), 1/t +infty, então arctg(+infty) = pi/2.
    • Quando t 0 pelo lado negativo ( t 0^-), 1/t -infty, então arctg(-infty) = -pi/2.
    • Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, o limite de f(t) quando t 0 não existe.
  3. ln(t^2 + 1): Quando t 0, t^2 + 1 1, então ln(t^2 + 1) ln(1) = 0.
Como o limite da segunda componente não existe, o limite geral da função vetorial r(t) quando t 0 não existe.

Passo 4

Parte c: Determinar em que pontos a função vetorial r(t) é contínua
Uma função vetorial é contínua se todas as suas componentes são contínuas no mesmo ponto.
Vamos analisar cada componente:
  1. raizt + 1: A raiz quadrada é contínua para t >= -1.
  2. f(t) = arctg(1/t) para t neq 0 e f(0) = 0:
    • Para t neq 0, a função arco-tangente é contínua.
    • No ponto t = 0, já vimos que o limite não existe, então f(t) não é contínua em t = 0.
  3. ln(t^2 + 1): O logaritmo natural é contínuo para todos os t.
Portanto, a função vetorial r(t) é contínua em todos os pontos do domínio, ou seja, para t >= -1, exceto em t = 0 onde a função f(t) não é contínua.

Resposta

a) O domínio de r(t) é t >= -1.
b) O limite de r(t) quando t 0 não existe.
c) A função vetorial r(t) é contínua para todo t >= -1, exceto em t = 0.

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