Considere a função f(t)=larctg(1 / t), se t neq 0 0, se t=0
e a função vetorial
r(t)=lang<=raizt+1, f(t), ln (t^2+1)rang<=
Determine em que pontos a função vetorial r é contínua.

Passo 1

O enunciado define a função escalar
f(t)= arctan!l(tfrac1tr),&tneq0, 0,&t=0,
e a função vetorial
r(t)=llang<= raizt+1,,f(t),,lnl(t^2+1r)rrang<=
Queremos determinar para quais valores de t a função vetorial r é contínua. Lembre que r é contínua num ponto se, e somente se, cada componente de r for contínua naquele ponto.

Passo 2

Identificamos o domínio de r. A componente raizt+1 exige
t+1>=0Longrightarrow t>= -1
As componentes f(t) e ln(t^2+1) estão definidas para todo tinR. Portanto
domínio(r)=[-1,infty) í

Passo 3

A função tmapstoraizt+1 é a composição de uma transformação afim com a raiz quadrada, e sabemos que a raiz quadrada é contínua em [0,infty). Logo raizt+1 é contínua em todo [ -1,infty).

Passo 4

A função tmapstoln(t^2+1) é contínua para todo tinR, pois t^2+1>0 sempre e o logaritmo natural é contínuo em (0,infty). Em particular, ela é contínua em [ -1,infty).

Passo 5

Analisamos agora
f(t)= arctan!l(tfrac1tr),&tneq0, 0,&t=0
Para tneq0, tmapstoarctan(1/t) é composição de funções contínuas (recíproca e arctan), logo contínua em Rsetminus0. Em t=0, calculamos os limites laterais:
limtto0^+f(t) =limtto0^+arctan!l(tfrac1tr) =arctan(+infty) =pi2,
limtto0^-f(t) =limtto0^-arctan!l(tfrac1tr) =arctan(-infty) =-pi2
Como pi2neq -pi2, o limite limtto0f(t) não existe e, portanto, f é descontínua em t=0.

Passo 6

Concluindo, cada componente de r é contínua em todo [ -1,infty) exceto na componente f, que falha exatamente em t=0. Logo r é contínua em todo o seu domínio salvo em t=0.

Resposta

A função vetorial r é contínua para todos os
tin[-1,infty)setminus0

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