determine:
mathscrL^-12 s-4(s^2+1)(s^2+s)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=2s-4(s^2+1)(s^2+s)
Aqui vamos usar decomposição em frações parciais e depois tabelas básicas:
mathscrL1=1/s
mathscrLe^-t=1/(s+1)
mathscrLcos t=s/(s^2+1)
mathscrLsin t=1/(s^2+1).

Passo 2

Note que s^2+s=s(s+1). Proponhamos
2s-4(s^2+1)s(s+1) =As+Bs+1+Cs+Ds^2+1
Multiplicando ambos os lados por (s^2+1)s(s+1) obtemos a identidade
2s-4 =A(s+1)(s^2+1)+B,s(s^2+1)+(Cs+D),s(s+1)

Passo 3

Expandindo e comparando coeficientes em
Da última equação (A=-4]. Substituindo e resolvendo encontra-se

Passo 4

Logo a decomposição fica
2s-4(s^2+1)s(s+1) =-4s+3s+1+s+3s^2+1

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
mathscrL^-1-4/s=-4,
mathscrL^-13/(s+1)=3e^-t,
mathscrL^-1s/(s^2+1)=cos t,
mathscrL^-13/(s^2+1)=3sin t.

Resposta

f(t)= -4 ;+;3e^-t;+;cos t;+;3sin t

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