determine:
mathscrL^-11s^3+5 s

Passo 1

A questão quer encontrar mathscrL^-11/(s^3+5s). O conteúdo aqui envolve transformada inversa de Laplace e frações parciais, e vamos precisar saber que s^3+5s se fatoriza como s(s^2+5) para decompor em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
1s^3+5s = 1s(s^2+5)
Em seguida, aplicamos frações parciais: presumimos que
1s(s^2+5) = As + Bs + Cs^2+5
Multiplicamos tudo por s(s^2+5) para achar A,B,C:
1 = A(s^2+5) + (Bs+C)s = (A+B)s^2 + C s + 5A

Passo 3

Comparando coeficientes de potências de s:
  • Coeficiente de s^2: A+B=0 implica B=-A.
  • Coeficiente de s: C=0.
  • Termo independente: 5A=1 implica A=1/5 e portanto B=-1/5.
    Logo a decomposição fica:
1s(s^2+5) = 1/5s - (1/5)ss^2+5

Passo 4

Agora usamos as transformadas inversas conhecidas:
  • mathscrL^-11/s = 1.
  • mathscrL^-1s/(s^2+a^2) = cos(at), aqui com a=raiz5.
    Aplicando termo a termo:
$$\mathscr{L}{-1}{1/(s3+5s)}
= \tfrac{1}{5}\cdot1 - \tfrac{1}{5}\cos(\sqrt5,t).$$

Resposta

15l[1 - cos(raiz5,t)r]

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