Seja uma função vetorial F(r-r^prime)=R onde R=r-r^prime, com r^prime sendo tratado como uma origem constante. Mostre que
nabla times(r-r^prime|r-r^prime|^3)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o rotacional de r - r^prime|r - r^prime|^3 é igual a zero. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao conceito de rotacional. Para resolver, vamos usar as propriedades de derivadas vetoriais e alguns truques de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão que precisamos analisar:
F(R) = R|R|^3
onde R = r - r^prime e r^prime é uma constante (ou seja, tratada como origem fixa).

Passo 3

Queremos calcular o rotacional de F, ou seja:
nabla times F = nabla times ( R|R|^3 )
O rotacional de um campo vetorial mede a tendência desse campo girar em torno de um ponto. Nosso objetivo é mostrar que esse rotacional é zero, ou seja, não há rotação.

Passo 4

Vamos usar uma identidade vetorial que nos ajuda a calcular o rotacional de uma função que é uma função escalar multiplicada por um vetor. A identidade é:
nabla times (f A) = f (nabla times A) + (nabla f) times A
No nosso caso, f = 1|R|^3 e A = R.

Passo 5

Aplicando a identidade:
nabla times ( R|R|^3 ) = 1|R|^3 (nabla times R) + ( nabla ( 1|R|^3 ) ) times R
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos nabla times R. Sabemos que o rotacional de uma posição vetorial R = r - r^prime é zero:
nabla times R = 0
Isso ocorre porque R é uma função linear das coordenadas e não tem componentes que geram rotação.

Passo 7

Agora, calculamos o segundo termo: nabla ( 1|R|^3 ).
Sabemos que:
nabla ( 1|R|^n ) = -n R|R|^n+2
Aplicando isso para n = 3:
nabla ( 1|R|^3 ) = -3 R|R|^5

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão do rotacional:
nabla times ( R|R|^3 ) = 1|R|^3 cdot 0 + ( -3 R|R|^5 ) times R
= 0 + (-3) R times R|R|^5

Passo 9

Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero:
R times R = 0
Portanto:
-3 R times R|R|^5 = 0

Passo 10

Juntando tudo, temos:
nabla times ( R|R|^3 ) = 0 + 0 = 0

Resposta

nabla times ( r - r^prime|r - r^prime|^3 ) = 0

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