Seja uma função vetorial
onde
,
sendo tratado como uma origem constante. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o rotacional de
é igual a zero. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao conceito de rotacional. Para resolver, vamos usar as propriedades de derivadas vetoriais e alguns truques de álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a expressão que precisamos analisar:
onde
e
é uma constante (ou seja, tratada como origem fixa).
Passo 3
Queremos calcular o rotacional de
, ou seja:
O rotacional de um campo vetorial mede a tendência desse campo girar em torno de um ponto. Nosso objetivo é mostrar que esse rotacional é zero, ou seja, não há rotação.
Passo 4
Vamos usar uma identidade vetorial que nos ajuda a calcular o rotacional de uma função que é uma função escalar multiplicada por um vetor. A identidade é:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Aplicando a identidade:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 6
Primeiro, calculamos
. Sabemos que o rotacional de uma posição vetorial
é zero:
Isso ocorre porque
é uma função linear das coordenadas e não tem componentes que geram rotação.
Passo 7
Agora, calculamos o segundo termo:
.
Sabemos que:
Aplicando isso para
:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na expressão do rotacional:
Passo 9
Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero:
Portanto:
Passo 10
Juntando tudo, temos: