(4,0) Considere a função vetorial
.
a) Calcule as derivadas de primeira e de segunda ordem dessa função.
b) Calcule o comprimento dessa curva, com
.
c) Calcule o vetor tangente unitário da curva.
d) Calcule o vetor tangente no ponto em que
.
a) Calcule as derivadas de primeira e de segunda ordem dessa função.
b) Calcule o comprimento dessa curva, com
c) Calcule o vetor tangente unitário da curva.
d) Calcule o vetor tangente no ponto em que
Passo 1
A questão pede para trabalhar com derivadas de funções vetoriais, comprimento de curva e vetor tangente. A função é
. Vamos precisar usar regra de derivada em cada componente, a fórmula de comprimento de arco
e a definição de vetor tangente unitário
.
Passo 2
Para obter as derivadas, aplicamos a derivada de
e
componente a componente. Temos:
E derivando de novo:
Passo 3
Para o comprimento da curva de
até
, usamos
Calculando a norma:
Logo
Passo 4
O vetor tangente unitário é dado por
Passo 5
Para encontrar o vetor tangente em
, basta avaliar
em
:
Resposta
a)
e
b)
c)
d) .
b)
c)
d)