(4,0) Considere a função vetorial r(t)=lang<= 6 sen 2 t, 6 cos 2 t, 5 trang<=.
a) Calcule as derivadas de primeira e de segunda ordem dessa função.
b) Calcule o comprimento dessa curva, com 0 <= t <= pi.
c) Calcule o vetor tangente unitário da curva.
d) Calcule o vetor tangente no ponto em que t=0.

Passo 1

A questão pede para trabalhar com derivadas de funções vetoriais, comprimento de curva e vetor tangente. A função é vec r(t)=lang<=6sin2t,;6cos2t,;5trang<=. Vamos precisar usar regra de derivada em cada componente, a fórmula de comprimento de arco L=integrala^b|vec r,'(t)|,dt e a definição de vetor tangente unitário vec T(t)=vec r,'(t)/|vec r,'(t)|.

Passo 2

Para obter as derivadas, aplicamos a derivada de sin(2t) e cos(2t) componente a componente. Temos:
vec r,'(t)=lang<=6cdot(2cos2t),;6cdot(-2sin2t),;5rang<==lang<=12cos2t,;-12sin2t,;5rang<=
E derivando de novo:
vec r''(t)=lang<=12cdot(-2sin2t),;-12cdot(2cos2t),;0rang<==lang<=-24sin2t,;-24cos2t,;0rang<=

Passo 3

Para o comprimento da curva de t=0 até t=pi, usamos
L=integral0^pi|vec r,'(t)|,dt
Calculando a norma:
|vec r,'(t)|=raiz(12cos2t)^2+(-12sin2t)^2+5^2=raiz144(cos^22t+sin^22t)+25=raiz169=13
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L=integral0^pi13,dt=13pi

Passo 4

O vetor tangente unitário é dado por
vec T(t)=vec r,'(t)|vec r,'(t)|=lang<=12cos2t13,;-12sin2t13,;513rang<=

Passo 5

Para encontrar o vetor tangente em t=0, basta avaliar vec r,'(t) em 0:
vec r,'(0)=lang<=12cos0,;-12sin0,;5rang<==lang<=12,;0,;5rang<=

Resposta

a) vec r,'(t)=lang<=12cos2t,;-12sin2t,;5rang<= e
b)
c)
d) vec r''(t)=lang<=-24sin2t,;-24cos2t,;0rang<=.

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