Considere a função
.
(a) Determine a superfície de nível de
, que passa pelo ponto
.
(b) Escreva as equações dos planos tangentes a
que são paralelos ao plano
.
(c) Determine o ponto de interseção da reta normal à superfície
que passa pelo ponto
, com o plano
.
(a) Determine a superfície de nível de
(b) Escreva as equações dos planos tangentes a
(c) Determine o ponto de interseção da reta normal à superfície
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. As perguntas são três:
(a) Determinar a superfície de nível
de
que passa por
.
(b) Escrever as equações dos planos tangentes a
que são paralelos ao plano dado
.
(c) Determinar o ponto de interseção da reta normal à superfície
que passa por
com o plano
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
, o ponto
e a equação do plano com o qual queremos paralelismo no item (b). A superfície de nível
é o conjunto de pontos onde
assume o mesmo valor que em
.
Passo 2
Vamos achar primeiro qual é o valor de nível que define
. A superfície de nível que passa por
é o conjunto de pontos
tais que
. Calculemos
:
Portanto
é o conjunto dos pontos onde
. Em forma de equação isso é:
(Explicação didática curta: uma superfície de nível de uma função
é a coleção de pontos onde
toma um valor fixo; aqui o valor é
, porque
em
vale
.)
Passo 3
Para trabalhar com planos tangentes e retas normais precisamos do vetor gradiente de
. Vou explicar o que é e como usarmos: o gradiente de
, denotado
, é o vetor das derivadas parciais e aponta na direção normal (perpendicular) à superfície de nível. Para
temos:
(Explicação didática curta:
é como
varia se eu mexer só em
; juntar essas três derivações dá o gradiente. Para superfícies definidas por
,
é normal à superfície.)
Passo 4
Fórmula do plano tangente a uma superfície de nível: se
é dada por
e
, então a equação do plano tangente em
é
Isto significa que o vetor
é normal ao plano tangente. Em coordenadas:
(Explicação didática curta: o produto escalar igual a zero garante perpendicularidade; por isso usamos o gradiente como normal do plano tangente.)
Passo 5
Item (b): queremos planos tangentes a
que sejam paralelos ao plano
. Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são paralelos (ou seja, proporcionais por um escalar). O vetor normal do plano dado é
. Para um ponto
o vetor normal ao plano tangente é
. Então impomos proporcionalidade:
para algum escalar
. Escrevendo coordenada a coordenada:
Dividindo as igualdades por
obtemos:
(Explicação didática curta: equacionamos as componentes para encontrar pontos cujos gradientes tenham a mesma direção do vetor
.)
Passo 6
Esses pontos
devem ainda pertencer à superfície
, ou seja satisfazer
. Substituindo:
Calculemos passo a passo:
Logo
.
Para
temos o ponto
Para
temos
(Explicação didática curta: normalmente pode haver mais de um ponto com gradiente paralelo ao vetor dado; aqui deu dois simétricos.)
Passo 7
Agora escrevemos as equações dos planos tangentes nesses pontos usando a fórmula do Passo 4.
Para
o gradiente é
. A equação do plano tangente é
Desenvolvendo:
Dividindo por
para simplificar:
Para
o gradiente é
. A equação do plano tangente é
Desenvolvendo:
Multiplicando por
e dividindo por
dá:
(Comentário: observe que as duas retas resultantes têm o mesmo vetor normal proporcional a
, por isso são paralelas entre si e ao plano dado.)
Passo 8
Item (c): queremos a interseção da reta normal à
que passa por
com o plano
.
A reta normal em
tem direção dada por
. Calculemos
:
A equação paramétrica da reta normal é, com parâmetro
:
ou coordenada a coordenada:
Procuramos
tal que
:
Substituindo em
e
:
Portanto a interseção é o ponto
.