Considere a função w=f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}.
(a) Determine a superfície de nível de f, S, que passa pelo ponto P=(3,1,2).
(b) Escreva as equações dos planos tangentes a S que são paralelos ao plano 4 x+12 y-8 z+10=0.
(c) Determine o ponto de interseção da reta normal à superfície S que passa pelo ponto P, com o plano y=0.

Passo 1

O enunciado dá a função w=f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2} e o ponto P=(3,1,2). As perguntas são três:
(a) Determinar a superfície de nível S de f que passa por P.
(b) Escrever as equações dos planos tangentes a S que são paralelos ao plano dado \;4x+12y-8z+10=0.
(c) Determinar o ponto de interseção da reta normal à superfície S que passa por P com o plano \;y=0.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f, o ponto P e a equação do plano com o qual queremos paralelismo no item (b). A superfície de nível S é o conjunto de pontos onde f assume o mesmo valor que em P.

Passo 2

Vamos achar primeiro qual é o valor de nível que define S. A superfície de nível que passa por P é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que f(x,y,z)=f(P). Calculemos f(P):
f(P)=f(3,1,2)=3^{2}+1^{2}-2^{2}=9+1-4=6.
Portanto S é o conjunto dos pontos onde f(x,y,z)=6. Em forma de equação isso é:
x^{2}+y^{2}-z^{2}=6.
(Explicação didática curta: uma superfície de nível de uma função f é a coleção de pontos onde f toma um valor fixo; aqui o valor é 6, porque f em P vale 6.)

Passo 3

Para trabalhar com planos tangentes e retas normais precisamos do vetor gradiente de f. Vou explicar o que é e como usarmos: o gradiente de f, denotado \nabla f, é o vetor das derivadas parciais e aponta na direção normal (perpendicular) à superfície de nível. Para f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2} temos:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)=(2x,\,2y,\,-2z).
(Explicação didática curta: \frac{\partial f}{\partial x} é como f varia se eu mexer só em x; juntar essas três derivações dá o gradiente. Para superfícies definidas por f(x,y,z)=\text{constante}, \nabla f é normal à superfície.)

Passo 4

Fórmula do plano tangente a uma superfície de nível: se S é dada por f(x,y,z)=c e (x_{0},y_{0},z_{0})\in S, então a equação do plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é
\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})\bigr)=0.
Isto significa que o vetor \nabla f(x_{0},y_{0},z_{0}) é normal ao plano tangente. Em coordenadas:
\bigl(2x_{0},2y_{0},-2z_{0}\bigr)\cdot\bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}\bigr)=0.
(Explicação didática curta: o produto escalar igual a zero garante perpendicularidade; por isso usamos o gradiente como normal do plano tangente.)

Passo 5

Item (b): queremos planos tangentes a S que sejam paralelos ao plano \;4x+12y-8z+10=0. Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são paralelos (ou seja, proporcionais por um escalar). O vetor normal do plano dado é (4,12,-8). Para um ponto (x_{0},y_{0},z_{0})\in S o vetor normal ao plano tangente é \nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})=(2x_{0},2y_{0},-2z_{0}). Então impomos proporcionalidade:
(2x_{0},2y_{0},-2z_{0})=\lambda\,(4,12,-8)
para algum escalar \lambda. Escrevendo coordenada a coordenada:
2x_{0}=4\lambda,\qquad 2y_{0}=12\lambda,\qquad -2z_{0}=-8\lambda.
Dividindo as igualdades por 2 obtemos:
x_{0}=2\lambda,\qquad y_{0}=6\lambda,\qquad z_{0}=4\lambda.
(Explicação didática curta: equacionamos as componentes para encontrar pontos cujos gradientes tenham a mesma direção do vetor (4,12,-8).)

Passo 6

Esses pontos (x_{0},y_{0},z_{0})=(2\lambda,6\lambda,4\lambda) devem ainda pertencer à superfície S, ou seja satisfazer x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-z_{0}^{2}=6. Substituindo:
(2\lambda)^{2}+(6\lambda)^{2}-(4\lambda)^{2}=6.
Calculemos passo a passo:
4\lambda^{2}+36\lambda^{2}-16\lambda^{2}=6,
(4+36-16)\lambda^{2}=6,
24\lambda^{2}=6,
\lambda^{2}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}.
Logo \lambda=\pm\frac{1}{2}.
Para \lambda=\frac{1}{2} temos o ponto
(x_{0},y_{0},z_{0})=\left(2\cdot\frac{1}{2},\,6\cdot\frac{1}{2},\,4\cdot\frac{1}{2}\right)=(1,3,2).
Para \lambda=-\frac{1}{2} temos
(x_{0},y_{0},z_{0})=\left(-1,-3,-2\right).
(Explicação didática curta: normalmente pode haver mais de um ponto com gradiente paralelo ao vetor dado; aqui deu dois simétricos.)

Passo 7

Agora escrevemos as equações dos planos tangentes nesses pontos usando a fórmula do Passo 4.
Para (1,3,2) o gradiente é \nabla f(1,3,2)=(2,6,-4). A equação do plano tangente é
(2,6,-4)\cdot\bigl(x-1,\,y-3,\,z-2\bigr)=0.
Desenvolvendo:
2(x-1)+6(y-3)-4(z-2)=0,
2x-2+6y-18-4z+8=0,
2x+6y-4z-12=0.
Dividindo por 2 para simplificar:
x+3y-2z-6=0.
Para (-1,-3,-2) o gradiente é \nabla f(-1,-3,-2)=(-2,-6,4). A equação do plano tangente é
(-2,-6,4)\cdot\bigl(x+1,\,y+3,\,z+2\bigr)=0.
Desenvolvendo:
-2(x+1)-6(y+3)+4(z+2)=0,
-2x-2-6y-18+4z+8=0,
-2x-6y+4z-12=0.
Multiplicando por -1 e dividindo por 2 dá:
x+3y-2z+6=0.
(Comentário: observe que as duas retas resultantes têm o mesmo vetor normal proporcional a (4,12,-8), por isso são paralelas entre si e ao plano dado.)

Passo 8

Item (c): queremos a interseção da reta normal à S que passa por P=(3,1,2) com o plano y=0.
A reta normal em P tem direção dada por \nabla f(P). Calculemos \nabla f(P):
\nabla f(3,1,2)=(2\cdot 3,\,2\cdot 1,\,-2\cdot 2)=(6,2,-4).
A equação paramétrica da reta normal é, com parâmetro t:
(x,y,z)=(3,1,2)+t(6,2,-4),
ou coordenada a coordenada:
x=3+6t,\qquad y=1+2t,\qquad z=2-4t.
Procuramos t tal que y=0:
1+2t=0 \quad\Rightarrow\quad t=-\tfrac{1}{2}.
Substituindo em x e z:
x=3+6\left(-\tfrac{1}{2}\right)=3-3=0,
z=2-4\left(-\tfrac{1}{2}\right)=2+2=4.
Portanto a interseção é o ponto (0,0,4).

Resposta

x^{2}+y^{2}-z^{2}=6
x+3y-2z-6=0
x+3y-2z+6=0
(0,0,4)

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