O problema pede para encontrar a derivada direcional da função z=f(x, y)=\frac{x+2 y}{x^{2}+y^{2}+1} no ponto P(-1,1), na direção da reta tangente à curva g(x, y)=x^{2}-2 x y+2 y^{2}=5 no mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = f(x,y) = \frac{x + 2y}{x^2 + y^2 + 1}
e pede a derivada direcional de f no ponto P(-1,1) na direção da reta tangente à curva de nível
g(x,y) = x^2 - 2xy + 2y^2 = 5
no mesmo ponto. Para resolver, vamos usar:
1. A derivada direcional de f na direção do vetor unitário \mathbf u é
D_{\mathbf u}f(P) = \nabla f(P)\cdot \mathbf u.
2. A reta tangente a um nível de g em P é ortogonal ao gradiente \nabla g(P).

Passo 2

Calcular \nabla g(x,y). Definindo
g(x,y)=x^2-2xy+2y^2,
temos
\frac{\partial g}{\partial x} = 2x - 2y, \qquad \frac{\partial g}{\partial y} = -2x + 4y.
No ponto P(-1,1):
\nabla g(-1,1) = \bigl(2(-1)-2(1),\;-2(-1)+4(1)\bigr) = (-4,6).
Um vetor \mathbf v=(v_1,v_2) tangente à curva satisfaz \nabla g(P)\cdot \mathbf v=0, ou seja
-4\,v_1 + 6\,v_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = \frac{2}{3}v_1.
Escolhemos \mathbf v = (3,2). O vetor unitário nessa direção é
\mathbf u = \frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|} = \frac{(3,2)}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{(3,2)}{\sqrt{13}}.

Passo 3

Calcular \nabla f(x,y) por regra do quociente. Seja
u(x,y)=x+2y, \quad v(x,y)=x^2+y^2+1,
então f=u/v e
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2} = \frac{1\cdot (x^2+y^2+1) - (x+2y)\cdot 2x}{(x^2+y^2+1)^2},
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2} = \frac{2\cdot (x^2+y^2+1) - (x+2y)\cdot 2y}{(x^2+y^2+1)^2}.

Passo 4

Avaliar \nabla f em P(-1,1). Primeiro note que
v(-1,1) = (-1)^2 + 1^2 + 1 = 3, \qquad v^2 = 9.
Agora
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{P} = \frac{(3) - 2(-1)(-1+2\cdot1)}{9} = \frac{3 - 2(-1)(1)}{9} = \frac{3 - 2\cdot(-1)}{9} = \frac{5}{9},
\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{P} = \frac{2\cdot3 - 2\cdot1\cdot(-1+2\cdot1)}{9} = \frac{6 - 2(1)}{9} = \frac{4}{9}.
Logo
\label{gradfP} \nabla f(-1,1) = \Bigl(\tfrac{5}{9},\,\tfrac{4}{9}\Bigr).

Passo 5

Calcular a derivada direcional usando
D_{\mathbf{u}}f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u}.
Com \mathbf{u} = (3,2)/\sqrt{13} e \nabla f(P) em [gradfP]:
D_{\mathbf{u}}f(-1,1) = \Bigl(\tfrac{5}{9},\tfrac{4}{9}\Bigr) \cdot \frac{(3,2)}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}\Bigl(\tfrac{5}{9} \cdot 3 + \tfrac{4}{9} \cdot 2\Bigr) = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{15+8}{9} = \frac{23}{9\sqrt{13}}.

Resposta

\frac{23}{9\sqrt{13}}

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