Considere a função e^(x/2) Expandir a função e^(x/2) em uma série de potências.
b) Determine o raio de convergência da série de funções obtida no item a)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer duas coisas com a função :
a) Expandir essa função em uma série de potências.
b) Descobrir qual é o raio de convergência dessa série que a gente vai obter no item a).
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre séries de potências e como expandir funções exponenciais usando a série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função exponencial geral em uma série de potências. A série de Taylor para em torno de 0 (também chamada de série de Maclaurin) é:
Isso quer dizer que podemos escrever como uma soma infinita onde cada termo é .

Passo 3

Agora, como nossa função é ao invés de , vamos substituir por na série que acabamos de lembrar:
Isso simplifica para:
Então, a série de potências de é:

Passo 4

Agora que temos a série, vamos determinar o raio de convergência dessa série. O raio de convergência nos diz até onde a série converge, ou seja, para quais valores de a série dá um resultado finito.
Para encontrar isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar o raio de convergência de uma série de potências. O teste da razão diz:
Onde é o termo geral da série.
No nosso caso, o termo geral é . Vamos calcular a razão entre e :
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como o limite é 0, que é menor que 1, isso significa que a série converge para todos os valores de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série de potências que expande é infinito, ou seja, .

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