Série Exponencial: Calcule a soma da série infinita, conhecida como a série de Taylor da função exponencial:
19. Série P: Determine se a seguinte série
-adica é convergente ou divergente:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
$$
Discuta os casos para
e
.
19. Série P: Determine se a seguinte série
$$
Discuta os casos para
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge. Esse tipo de série é conhecida como série p e faz parte do estudo de séries numéricas em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender o teste da p-série e como ele se aplica para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série p. É uma série infinita da forma
, onde
é um número real positivo. O comportamento dessa série depende do valor de
.
Passo 3
Para saber se a série converge ou diverge, usamos o teste da p-série. Esse teste nos diz que:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Passo 4
Vamos analisar cada caso:
-
Quando
: - Segundo o teste da p-série, a série
converge. - Isso significa que a soma dos termos da série se aproxima de um número finito.
- Segundo o teste da p-série, a série
-
Quando
: - Aqui, de acordo com o teste, a série diverge.
- Ou seja, a soma dos termos não se aproxima de nenhum número finito, mas cresce sem limites.
Passo 5
Então, resumindo:
- Para
: A série converge. - Para
: A série diverge.
Resposta
A série
converge se
e diverge se
.