Série Exponencial: Calcule a soma da série infinita, conhecida como a série de Taylor da função exponencial: sumn=0^infty x^nn!
19. Série P: Determine se a seguinte série p-adica é convergente ou divergente:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
$$
Discuta os casos para sumn=1^infty 1n^p e p>1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge. Esse tipo de série é conhecida como série p e faz parte do estudo de séries numéricas em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender o teste da p-série e como ele se aplica para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série p. É uma série infinita da forma , onde é um número real positivo. O comportamento dessa série depende do valor de .

Passo 3

Para saber se a série converge ou diverge, usamos o teste da p-série. Esse teste nos diz que:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.

Passo 4

Vamos analisar cada caso:
  1. Quando :
    • Segundo o teste da p-série, a série converge.
    • Isso significa que a soma dos termos da série se aproxima de um número finito.
  2. Quando :
    • Aqui, de acordo com o teste, a série diverge.
    • Ou seja, a soma dos termos não se aproxima de nenhum número finito, mas cresce sem limites.

Passo 5

Então, resumindo:
  • Para : A série converge.
  • Para : A série diverge.

Resposta

A série converge se e diverge se .

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