Considere a função
.
a)
pode ser negativo?
b)
pode ser igual a zero?
c)
pode ser maior que 1 ?
d) Qual é o domínio da função?
a)
b)
c)
d) Qual é o domínio da função?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que estamos analisando é
. A matéria envolvida aqui é funções e domínio de funções. Para resolver as perguntas, vamos precisar entender quando a expressão dentro da raiz quadrada é válida, ou seja, quando ela é maior ou igual a zero, e também considerar as restrições que aparecem devido ao denominador
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar se
pode ser negativo. Olha só, dentro da raiz temos
. Se
for negativo,
também será negativo. Vamos ver o que acontece:
Como a expressão dentro da raiz seria negativa, isso não é permitido (não dá para tirar raiz de número negativo no conjunto dos números reais). Portanto,
não pode ser negativo.
Passo 3
Agora, vamos ver se
pode ser igual a zero. Olha só, se
, teremos
, que é indefinido! Isso significa que a função não existe para
. Então,
não pode ser igual a zero.
Passo 4
Vamos ver se
pode ser maior que 1. Se
, então
será um número positivo menor que 1. Subtraindo 1, temos:
Mais uma vez, a expressão dentro da raiz fica negativa, o que não é permitido. Portanto,
não pode ser maior que 1.
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio da função, ou seja, todos os valores de
para os quais a função está definida. Sabemos que:
-
(para evitar divisão por zero). -
(para a raiz quadrada ser válida).
Resolvendo
:
Então,
deve ser tal que
.
Resposta
a) Não,
não pode ser negativo.
b) Não,
não pode ser igual a zero.
c) Não,
não pode ser maior que 1.
d) O domínio da função é todos os números reais
tais que
, ou seja,
.