Considere a função y=raiz1x-1.
a) x pode ser negativo?
b) x pode ser igual a zero?
c) x pode ser maior que 1 ?
d) Qual é o domínio da função?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que estamos analisando é y = raiz1x - 1 . A matéria envolvida aqui é funções e domínio de funções. Para resolver as perguntas, vamos precisar entender quando a expressão dentro da raiz quadrada é válida, ou seja, quando ela é maior ou igual a zero, e também considerar as restrições que aparecem devido ao denominador x .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar se x pode ser negativo. Olha só, dentro da raiz temos 1x - 1 . Se x for negativo, 1x também será negativo. Vamos ver o que acontece:
1x - 1 < 0 - 1 = -1
Como a expressão dentro da raiz seria negativa, isso não é permitido (não dá para tirar raiz de número negativo no conjunto dos números reais). Portanto, x não pode ser negativo.

Passo 3

Agora, vamos ver se x pode ser igual a zero. Olha só, se x = 0 , teremos 10 , que é indefinido! Isso significa que a função não existe para x = 0 . Então, x não pode ser igual a zero.

Passo 4

Vamos ver se x pode ser maior que 1. Se x > 1 , então 1x será um número positivo menor que 1. Subtraindo 1, temos:
1x - 1 < 1 - 1 = 0
Mais uma vez, a expressão dentro da raiz fica negativa, o que não é permitido. Portanto, x não pode ser maior que 1.

Passo 5

Agora, vamos determinar o domínio da função, ou seja, todos os valores de x para os quais a função está definida. Sabemos que:
  1. x neq 0 (para evitar divisão por zero).
  2. 1x - 1 >= 0 (para a raiz quadrada ser válida).
Resolvendo 1x - 1 >= 0 :
1x >= 1 1 >= x (mu<iplicamos ambos os lados por x e invertemos a desigualdade porque x > 0)
Então, x deve ser tal que 0 < x <= 1 .

Resposta

a) Não, x não pode ser negativo.
b) Não, x não pode ser igual a zero.
c) Não, x não pode ser maior que 1.
d) O domínio da função é todos os números reais x tais que 0 < x <= 1 , ou seja, x in (0, 1] .

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