(a) Mostre que se
é ímpar, então
é múltiplo de 8 .
(b) Mostre que se
é ímpar, então
é múltiplo de 24 .
(c) Mostre que se
não é múltiplo de 2 nem de 3 , então
é múltiplo de 24 . Mostre que o mesmo vale para
.
(b) Mostre que se
(c) Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar três propriedades de divisibilidade usando fatoração e aritmética modular:
- (a) se
é ímpar, então é múltiplo de 8; - (b) se
é ímpar, então é múltiplo de 24; - (c) se
não é múltiplo de 2 nem de 3, então e são múltiplos de 24.
Para isso usaremos a fatoração, produto de três inteiros consecutivos, e congruências módulo 8 e 3.
Passo 2
Para (a), escreva
. Então
Como
e
são consecutivos, um deles é par, logo existe
tal que
. Assim
mostrando que
é múltiplo de 8.
Passo 3
Para (b), observe que
é produto de três inteiros consecutivos. Já sabemos em (a) que
é múltiplo de 8. Além disso, em três inteiros consecutivos um deles é múltiplo de 3, logo o produto todo é múltiplo de 3. Portanto
é múltiplo de
.
Passo 4
Para a primeira parte de (c), como
não é múltiplo de 2 nem de 3, temos
. Assim
é ímpar e não divisível por 3. Pela fatoração
já há múltiplo de 8 por (a). E como
, um de
ou
é múltiplo de 3. Logo
é múltiplo de
.
Passo 5
Para a segunda parte de (c), examine
. Como
é ímpar, sempre vale
então
Como também
, temos
Portanto
é múltiplo de
.
Resposta
(a)
é múltiplo de 8.
(b) é múltiplo de 24.
(c) Se não é múltiplo de 2 nem de 3, então tanto
quanto
são múltiplos de 24.
(b)
(c) Se