(a) Mostre que se n é ímpar, então n^2-1 é múltiplo de 8 .
(b) Mostre que se n é ímpar, então n(n^2-1) é múltiplo de 24 .
(c) Mostre que se n não é múltiplo de 2 nem de 3 , então n^2-1 é múltiplo de 24 . Mostre que o mesmo vale para n^2+23.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três propriedades de divisibilidade usando fatoração e aritmética modular:
  • (a) se n é ímpar, então n^2-1 é múltiplo de 8;
  • (b) se n é ímpar, então n(n^2-1) é múltiplo de 24;
  • (c) se n não é múltiplo de 2 nem de 3, então n^2-1 e n^2+23 são múltiplos de 24.
    Para isso usaremos a fatoração n^2-1=(n-1)(n+1), produto de três inteiros consecutivos, e congruências módulo 8 e 3.

Passo 2

Para (a), escreva n=2k+1. Então
n^2-1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1)
Como k e k+1 são consecutivos, um deles é par, logo existe m tal que k(k+1)=2m. Assim
n^2-1 = 4cdot 2m = 8m,
mostrando que n^2-1 é múltiplo de 8.

Passo 3

Para (b), observe que
n(n^2-1) = n,(n-1)(n+1)
é produto de três inteiros consecutivos. Já sabemos em (a) que (n-1)(n+1) é múltiplo de 8. Além disso, em três inteiros consecutivos um deles é múltiplo de 3, logo o produto todo é múltiplo de 3. Portanto
n(n^2-1)
é múltiplo de 8cdot3=24.

Passo 4

Para a primeira parte de (c), como n não é múltiplo de 2 nem de 3, temos gcd(n,6)=1. Assim n é ímpar e não divisível por 3. Pela fatoração
n^2-1 = (n-1)(n+1),
já há múltiplo de 8 por (a). E como nequivpm1pmod3, um de n-1 ou n+1 é múltiplo de 3. Logo n^2-1 é múltiplo de 8cdot3=24.

Passo 5

Para a segunda parte de (c), examine n^2+23. Como n é ímpar, sempre vale
n^2equiv1pmod8,
então
n^2+23equiv1+7=8equiv0pmod8
Como também nequivpm1pmod3, temos
n^2+23equiv1+2=3equiv0pmod3
Portanto n^2+23 é múltiplo de 8cdot3=24.

Resposta

(a) n^2-1 é múltiplo de 8.
(b) n(n^2-1) é múltiplo de 24.
(c) Se n não é múltiplo de 2 nem de 3, então tanto n^2-1 quanto n^2+23 são múltiplos de 24.

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