Sejam f, g e h as funções definidas por:
f(x)=x^2-5 x, g(x)=x+1 e h(x)=x+32 x-5
Faça o que se pede:
a) Obtenha o valor de x tal que f(1)-g(x)f(g(1))=f(3)g(0).
b) Encontre o domínio de h^-1.

Passo 1

O enunciado define as funções f(x)=x^2-5x, g(x)=x+1 e h(x)=x+32x-5. Precisamos resolver duas coisas: primeiro achar x tal que f(1)-g(x)f(g(1))=f(3)g(0); depois determinar o domínio de h^-1, que é a imagem (range) de h.

Passo 2

Calculamos os valores envolvidos na parte (a):
f(1)=1^2-5cdot1=-4
g(x)=x+1
g(1)=2 logo f(g(1))=f(2)=2^2-5cdot2=4-10=-6
f(3)=3^2-5cdot3=9-15=-6
g(0)=0+1=1

Passo 3

Montamos a equação
f(1)-g(x)f(g(1))=f(3)g(0)
Substituindo os valores:
-4-(x+1)-6=-61
Que simplifica para:
-x-5-6=-6 Longrightarrow x+56=-6 Longrightarrow x+5=-36 Longrightarrow x=-41

Passo 4

Para a parte (b), escrevemos y=h(x)=x+32x-5 e invertemos:
Multiplicando ambos os lados por (2x-5) e isolando x:
y(2x-5)=x+3 Longrightarrow 2yx-5y=x+3 Longrightarrow x(2y-1)=5y+3 Longrightarrow x=5y+32y-1

Passo 5

Essa expressão é h^-1(y), definida sempre que o denominador 2y-1neq0, ou seja yneqtfrac12. Não há outras restrições, pois racional de grau 1 atinge todos os outros valores.
Portanto o domínio de h^-1 é todos os y reais, exceto tfrac12.

Resposta

a) x=-41. b) Domínio de h^-1: Rsetminustfrac12 (ou seja (-infty,tfrac12)cup(tfrac12,+infty)).

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