Questão 2. Se T denota o triângulo que liga os pontos z=0, z=1 e z=1+i orientado positivamente, calcule as integrais abaixo:
integralT(Im z)^2 d z.

Passo 1

Temos que calcular a integral de contorno integralT (Im z)^2 ,dz, onde T é o triângulo com vértices em 0, 1 e 1+i, orientado positivamente (sentido anti-horário). Vamos usar parametrizações lineares dos três lados.

Passo 2

Parametrizamos cada lado do triângulo e calculamos a integral em cada um:
Lado 1: de 0 a 1
Escolhemos z1(t)=t, tin[0,1]. Então Im z1(t)=0 e dz1=dt.
integral0^1(Im z1(t))^2,dz1=integral0^10^2,dt=0

Passo 3

Lado 2: de 1 a 1+i
Escolhemos z2(t)=1+i t, tin[0,1]. Então Im z2(t)=t e dz2=i,dt.
integral1^1+i(Im z)^2,dz=integral0^1t^2,(i,dt)=iintegral0^1t^2,dt=i3

Passo 4

Lado 3: de 1+i a 0
Escolhemos z3(t)=(1+i)(1-t), tin[0,1]. Então Im z3(t)=1-t e dz3=-(1+i),dt.
integral1+i^0(Im z)^2,dz=integral0^1(1-t)^2l[-(1+i),dtr]=-(1+i)integral0^1(1-t)^2,dt=-(1+i)13

Passo 5

Somando as três contribuições:
0+i3-1+i3 = i -1 - i3 = -13

Resposta

-\nfrac{1}{3}

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