Encontre f^{\prime}(x) e f^{\prime \prime}(x).
f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O enunciado pede para determinar a primeira e a segunda derivada de
f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}.
O conteúdo envolvido é a aplicação da regra do quociente para obter f'(x) e, em seguida, da regra do produto e da cadeia (ou regra do quociente novamente) para obter f''(x).

Passo 2

Cálculo de f'(x) usando a regra do quociente
A regra do quociente diz que, para
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
temos
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.
Aqui u(x)=x e v(x)=x^2-1, logo u'(x)=1 e v'(x)=2x. Substituindo:
f'(x) =\frac{1\cdot(x^2-1)-x\cdot(2x)}{(x^2-1)^2} =\frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2} =\frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} =-\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}.

Passo 3

Cálculo de f''(x) diferenciando f'(x)
Escrevemos
f'(x)=-\bigl(x^2+1\bigr)\,(x^2-1)^{-2}.
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia em
g(x)=x^2+1,\quad h(x)=(x^2-1)^{-2}.
Temos g'(x)=2x e
h'(x)=-2\,(x^2-1)^{-3}\cdot 2x=-4x\,(x^2-1)^{-3}.
Portanto,
f''(x) =-\bigl[g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x)\bigr] =-\Bigl(2x\,(x^2-1)^{-2}+(x^2+1)\,(-4x\,(x^2-1)^{-3})\Bigr).
Fatorando e colocando num denominador comum (x^2-1)^3,
f''(x) =\frac{-2x\,(x^2-1)+4x\,(x^2+1)}{(x^2-1)^3} =\frac{-2x^3+2x+4x^3+4x}{(x^2-1)^3} =\frac{2x^3+6x}{(x^2-1)^3} =\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}.

Resposta

f'(x)=-\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2} f''(x)=\dfrac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}

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