Derive a função.
f(x)=x^{2}(1-2 x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{2}(1-2x). O conteúdo principal aqui é a derivação de um produto de funções, que usamos a regra do produto para resolver.

Passo 2

Definimos as duas funções cujo produto forma f: u(x)=x^{2} e v(x)=1-2x.
Agora calculamos as derivadas de cada uma: u'(x)=2x e v'(x)=-2.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto, que diz
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo os valores encontrados:
f'(x)=2x\,(1-2x)+x^{2}\,(-2).

Passo 4

Agora simplificamos termo a termo:
2x\,(1-2x)=2x-4x^{2}, \quad x^{2}(-2)=-2x^{2},
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f'(x)=(2x-4x^{2})+(-2x^{2})=2x-6x^{2}.
Também podemos fatorar:
f'(x)=2x(1-3x).

Resposta

f'(x)=2x-6x^{2} (ou, equivalentemente, f'(x)=2x(1-3x)).

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