Considere a função:
z=\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
Prove que:
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z

Passo 1

O enunciado define a função
z(x,y)=\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
e pede para provar que
x\,\frac{\partial z}{\partial x}+y\,\frac{\partial z}{\partial y}=z.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Euler para funções homogêneas, aliado ao conceito de derivadas parciais.

Passo 2

Mostramos que z(x,y) é homogênea de grau 1, isto é, para todo \lambda\neq0 vale
z(\lambda x,\lambda y) =\frac{(\lambda x)\,(\lambda y)^{2}}{(\lambda x)^{2}+(\lambda y)^{2}} =\frac{\lambda^{3}\,x\,y^{2}}{\lambda^{2}(x^{2}+y^{2})} =\lambda\;\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\lambda\,z(x,y).

Passo 3

O Teorema de Euler para funções homogêneas diz que, se f(x,y) é homogênea de grau k, então
x\,\frac{\partial f}{\partial x}+y\,\frac{\partial f}{\partial y} =k\,f(x,y).

Passo 4

Como mostramos que z é homogênea de grau k=1, aplicando o teorema de Euler obtemos
x\,\frac{\partial z}{\partial x}+y\,\frac{\partial z}{\partial y} =1\cdot z(x,y) =z(x,y),
que é justamente o que se pedia.

Resposta

x\,\frac{\partial z}{\partial x}+y\,\frac{\partial z}{\partial y}=z.

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