Suponha que as funções y=y(x) e z=z(x) sejam dadas implicitamente pelo sistema:
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+z^{2}=1 \\\ y^{2}+z^{2}=1 \end{array}\right.
a) Expresse \frac{d y}{d z} \mathrm{e} \frac{d z}{d z} em termos de x, y e z.
b) Determine um par de funções y e z que satisfaçam o sistema.

Passo 1

O enunciado define duas funções implícitas y=y(x)\) e \(z=z(x)\) pelas equações \[\begin{cases} x^{2}+z^{2}=1,\\\ y^{2}+z^{2}=1. \end{cases}
Queremos em (a) obter as derivadas \tfrac{dy}{dx}\] e \(\tfrac{dz}{dx} em termos de x,y,z usando diferenciação implícita, e em (b) dar um exemplo de solução explícita y(x), z(x) que satisfaça o sistema.

Passo 2

Derivamos a primeira equação
x^{2}+z^{2}=1
em relação a x. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(z^{2})=0 \;\Longrightarrow\; 2x + 2z\,\frac{dz}{dx}=0.
Isolando \tfrac{dz}{dx}, obtemos
\frac{dz}{dx} = -\,\frac{x}{z}.

Passo 3

Derivamos a segunda equação
y^{2}+z^{2}=1
em relação a x. Novamente pela cadeia:
2y\,\frac{dy}{dx} + 2z\,\frac{dz}{dx}=0.
Substituindo \tfrac{dz}{dx}=-x/z e resolvendo para \tfrac{dy}{dx}:
2y\,\frac{dy}{dx} \;=\;-2z\Bigl(-\frac{x}{z}\Bigr) \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} =\frac{x}{y}.

Passo 4

Para encontrar funções explícitas y(x) e z(x) que satisfazem
\begin{cases} x^{2}+z^{2}=1,\\\ y^{2}+z^{2}=1, \end{cases}
note que da primeira vem
z(x)=\pm\sqrt{1 - x^{2}},
e da segunda
y^{2}=1 - z^{2}=1 - (1 - x^{2})=x^{2} \;\Longrightarrow\; y(x)=\pm x.
Por exemplo, uma escolha consistente é
y(x)=x, \quad z(x)=\sqrt{1-x^{2}}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{x}{z}, \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.
b) Um par de soluções é
y(x)=x, \quad z(x)=\sqrt{1-x^{2}}.

Exercícios relacionados