Suponha que as funções
e
sejam dadas implicitamente pelo sistema:
a) Expresse
em termos de
e
.
b) Determine um par de funções
e
que satisfaçam o sistema.
b) Determine um par de funções
Passo 1
O enunciado define duas funções implícitas
Queremos em (a) obter as derivadas
em termos de
usando diferenciação implícita, e em (b) dar um exemplo de solução explícita
,
que satisfaça o sistema.
Passo 2
Derivamos a primeira equação
em relação a
. Pela regra da cadeia:
Isolando
, obtemos
Passo 3
Derivamos a segunda equação
em relação a
. Novamente pela cadeia:
Substituindo
e resolvendo para
:
Passo 4
Para encontrar funções explícitas
e
que satisfazem
note que da primeira vem
e da segunda
Por exemplo, uma escolha consistente é
Resposta
a)
,
.
b) Um par de soluções é
b) Um par de soluções é