Sejam f: A \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} e \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva tal que \gamma(t) \in A, t \in I. Se \gamma for contínua em t_{0} \in I e f contínua em \gamma\left(t_{0}\right), então a composta g(t)=f(\gamma(t)) é contínua em t_{0}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
  • \gamma\colon I\to\mathbb{R}^2 é contínua em t_0\in I,
  • f\colon A\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua em \gamma(t_0),
    então a função composta
g\colon I\to\mathbb{R},\quad g(t)=f\bigl(\gamma(t)\bigr)
é contínua em t_0.
O conteúdo aqui é a prova da continuidade de uma composição via definição \varepsilon - \delta.

Passo 2

Recordamos a definição de continuidade de \gamma em t_0: para todo \varepsilon_1>0 existe \delta_2>0 tal que, sempre que
|t-t_0|<\delta_2,
então
\bigl\|\gamma(t)-\gamma(t_0)\bigr\|<\varepsilon_1.

Passo 3

Recordamos a definição de continuidade de f em \gamma(t_0): para todo \varepsilon>0 existe \delta_1>0 tal que, sempre que
\bigl\|x-\gamma(t_0)\bigr\|<\delta_1,
então
\bigl|f(x)-f\bigl(\gamma(t_0)\bigr)\bigr|<\varepsilon.

Passo 4

Para provar que g é contínua em t_0, seja dado um \varepsilon>0. Pela continuidade de f em \gamma(t_0) existe \delta_1>0 de modo que
\bigl\|x-\gamma(t_0)\bigr\|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)-f\bigl(\gamma(t_0)\bigr)\bigr|<\varepsilon.
Agora, aplicando a continuidade de \gamma em t_0 com \varepsilon_1=\delta_1, existe \delta_2>0 tal que
|t-t_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad \bigl\|\gamma(t)-\gamma(t_0)\bigr\|<\delta_1.
Compondo as duas implicações, para todo t com |t-t_0|<\delta_2 temos
\bigl|g(t)-g(t_0)\bigr| =\bigl|f\bigl(\gamma(t)\bigr)-f\bigl(\gamma(t_0)\bigr)\bigr| <\varepsilon.
Isso mostra, pela definição, que g é contínua em t_0.

Resposta

A função composta g(t)=f(\gamma(t)) é contínua em t_0.

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