Resolva as EDO:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+4 y=\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' + 4y = \operatorname{sen} x.
O que vamos precisar é (1) achar a solução geral da homogênea associada usando a equação característica e (2) encontrar uma solução particular para o termo não homogeneizado \operatorname{sen} x usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea
y'' + y' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + r + 4 = 0.
O discriminante vale \Delta = 1 - 16 = -15, logo as raízes são complexas
r = \frac{-1 \pm i\sqrt{15}}{2}.
Portanto a solução geral da parte homogênea é
y_h(x) = e^{-\tfrac{x}{2}}\Big(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{2}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{2}x\bigr)\Big).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para
y'' + y' + 4y = \operatorname{sen} x.
Como o lado direito é \operatorname{sen} x, fazemos o palpite
y_p(x) = A\cos x + B\operatorname{sen} x,
onde A e B são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
y_p' = -A\operatorname{sen} x + B\cos x, \quad y_p'' = -A\cos x - B\operatorname{sen} x.
Substituindo na equação:
y_p'' + y_p' + 4y_p = (-A\cos x - B\operatorname{sen} x) +(-A\operatorname{sen} x + B\cos x) +4(A\cos x + B\operatorname{sen} x).
Agrupando termos em \cos x e \operatorname{sen} x:
( -A + B +4A)\cos x +(-B -A +4B)\operatorname{sen} x = (3A + B)\cos x +(-A +3B)\operatorname{sen} x.
Para que isso seja igual a \operatorname{sen} x, precisamos de
3A + B = 0, \qquad -\,A + 3B = 1.
Resolvendo:
B = -3A, \quad -\,A + 3(-3A) = 1 \;\Longrightarrow\; -10A = 1 \;\Longrightarrow\; A = -\tfrac{1}{10}, \quad B = \tfrac{3}{10}.
Logo
y_p(x) = -\frac{1}{10}\cos x + \frac{3}{10}\operatorname{sen} x.

Passo 4

A solução geral da equação não homogeneizada é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x).

Resposta

y(x) = e^{-\tfrac{x}{2}}\Big(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{2}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{2}x\bigr)\Big) - \frac{1}{10}\cos x + \frac{3}{10}\operatorname{sen} x.

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