Resolva as EDO:
Passo 1
O problema pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento dado pela função de Heaviside deslocada
:
Vamos usar a combinação da solução da homogênea (característica), mais uma particular obtida por convolução ou transformada de Laplace e, por fim, expressar tudo de forma contínua usando
.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução homogênea
resolvendo
A equação característica é
com raízes
e
. Logo
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para achar uma solução particular
usamos a resposta ao impulso (função de Green) do operador
. Na frequência de Laplace temos
logo a função de transferência é
Invertendo a transformada de Laplace,
Passo 4
Como o forçamento é
, a solução particular é dada por convolução deslocada:
e
para
.
Passo 5
Calculemos a integral para
:
Logo
Passo 6
A solução geral fica então
Em forma única usando
:
Resposta
onde
são constantes de integração.