Resolva as EDO:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=U_{2}(t)

Passo 1

O problema pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento dado pela função de Heaviside deslocada U_{2}(t):
y''+y'=U_{2}(t).
Vamos usar a combinação da solução da homogênea (característica), mais uma particular obtida por convolução ou transformada de Laplace e, por fim, expressar tudo de forma contínua usando U_{2}(t).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução homogênea y_{h} resolvendo
y''+y'=0.
A equação característica é
r^{2}+r=0\quad\Longrightarrow\quad r(r+1)=0,
com raízes r=0 e r=-1. Logo
y_{h}(t)=C_{1}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_{p} usamos a resposta ao impulso (função de Green) do operador L[y]=y''+y'. Na frequência de Laplace temos
L\{y''+y'\}=(s^{2}+s)Y(s),
logo a função de transferência é
G(s)=\frac{1}{s^{2}+s}=\frac{1}{s(s+1)}.
Invertendo a transformada de Laplace,
g(t)=L^{-1}\{G(s)\}=1-e^{-t}\quad(t\ge0).

Passo 4

Como o forçamento é U_{2}(t), a solução particular é dada por convolução deslocada:
y_{p}(t)=\int_{0}^{t}U_{2}(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau =\int_{2}^{t}(1-e^{-(t-\tau)})\,d\tau\quad(\text{para }t\ge2),
e y_{p}(t)=0 para t<2.

Passo 5

Calculemos a integral para t\ge2:
\int_{2}^{t}1\,d\tau = t-2, \qquad \int_{2}^{t}e^{-(t-\tau)}\,d\tau = \int_{0}^{t-2}e^{-u}\,du = 1-e^{-(t-2)}.
Logo
y_{p}(t)=(t-2)-\bigl(1-e^{-(t-2)}\bigr) =t-3+e^{-(t-2)} \quad\text{para }t\ge2.

Passo 6

A solução geral fica então
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t) =C_{1}+C_{2}e^{-t} +\begin{cases} 0, & t<2,\\[6pt] t-3+e^{-(t-2)}, & t\ge2. \end{cases}
Em forma única usando U_{2}(t):
y(t)=C_{1}+C_{2}e^{-t}+\bigl(t-3+e^{-(t-2)}\bigr)\,U_{2}(t).]

Resposta

y(t)=C_{1}+C_{2}e^{-t}+\bigl(t-3+e^{-(t-2)}\bigr)\,U_{2}(t),
onde C_{1},C_{2} são constantes de integração.

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