Considere a função:
z=4-x^{2}-y^{2}
Descreva o comportamento da função quando x^{2}+y^{2} \rightarrow 4.

Passo 1

O enunciado dá a função
z=4-x^{2}-y^{2}
e pede para descrever o comportamento de z quando x^{2}+y^{2}\rightarrow4.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão envolve apenas x^{2}+y^{2}, ou seja, o valor de z depende só da soma dos quadrados de x e y.
  • O limite pedido é quando x^{2}+y^{2} se aproxima de 4, isto é, quando o ponto (x,y) se aproxima do círculo de raio 2 centrado na origem (a curva dada por x^{2}+y^{2}=4).
  • A função está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Observação útil (mudança para coordenadas polares): defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\text{com}\quad r\ge0, \qquad x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta.
Aqui r é a distância do ponto (x,y) à origem e \theta é o ângulo polar. Ao escrever x e y assim, a soma x^{2}+y^{2} vira simplesmente r^{2}.
Substituindo na função:
z=4-x^{2}-y^{2}=4-r^{2}.
Explicando: isso mostra que z depende unicamente de r (da distância ao centro), não do ângulo \theta.

Passo 3

Calcular o limite usando a expressão em termos de r. Quando x^{2}+y^{2}\rightarrow4 temos r^{2}\rightarrow4, ou seja r\rightarrow2 (como r\ge0). Assim
\lim_{x^{2}+y^{2}\to4} z = \lim_{r\to2} (4-r^{2}) = 4-2^{2} =0.
Explicação didática: como 4-r^{2} é uma expressão polinomial em r, é contínua; portanto podemos simplesmente substituir r=2 no limite. Isso vale independentemente da direção pela qual r chega a 2 (isto é, independente de \theta).

Passo 4

Informação sobre o sinal e o modo de aproximação (detalhe importante para a prova):
  • Se x^{2}+y^{2}<4 (ou seja r<2), então
z=4-r^{2}>0,
portanto os valores de z são positivos e, ao fazer r\to2^{-}, z tende para 0 por valores positivos — escrevemos z\to0^{+}.
  • Se x^{2}+y^{2}>4 (ou seja r>2), então
z=4-r^{2}<0,
portanto os valores de z são negativos e, ao fazer r\to2^{+}, z tende para 0 por valores negativos — escrevemos z\to0^{-}.
  • Se x^{2}+y^{2}=4 (ou seja r=2), então
z=4-4=0,
ou seja exatamente sobre o círculo x^{2}+y^{2}=4 a função vale 0.
Um exemplo numérico rápido para fixar:
  • Para (x,y)=(1{,}9,0) temos x^{2}+y^{2}=1{,}9^{2}=3{,}61<4 e z=4-3{,}61=0{,}39>0.
  • Para (x,y)=(2{,}1,0) temos x^{2}+y^{2}=2{,}1^{2}=4{,}41>4 e z=4-4{,}41=-0{,}41<0.
    Ambos os exemplos mostram que ao aproximar-se do raio 2, z se aproxima de 0, vindo de cima (positivo) ou de baixo (negativo), conforme o caso.

Passo 5

Interpretação geométrica curta (útil para visualizar na prova):
  • O gráfico de z=4-x^{2}-y^{2} é um paraboloide voltado para baixo com vértice em (0,0,4).
  • A interseção desse paraboloide com o plano z=0 é o círculo x^{2}+y^{2}=4 (raio 2). Logo, quando (x,y) se aproxima desse círculo, o ponto da superfície se aproxima da altura z=0 sobre esse círculo.
  • As curvas de nível z=\text{const} são círculos x^{2}+y^{2}=4-z; quando z\to0, esses círculos tendem ao círculo de raio 2.

Passo 6

Resumo prático para usar na prova: ao ver x^{2}+y^{2}\rightarrow4 em z=4-x^{2}-y^{2}, substitua r^{2}=x^{2}+y^{2} e avalie 4-r^{2} em r\to2. O resultado é 0, e lembrar do detalhe do sinal conforme venha de dentro ou fora do círculo pode salvar pontos.

Resposta

Quando x^{2}+y^{2}\rightarrow4 tem-se z\rightarrow0.
Se x^{2}+y^{2}<4 então z>0 e tende a 0^{+}.
Se x^{2}+y^{2}>4 então z<0 e tende a 0^{-}.
Para x^{2}+y^{2}=4 vale z=0.

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