Considere a função:
Descreva o comportamento da função quando
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para descrever o comportamento de
quando
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão envolve apenas
, ou seja, o valor de depende só da soma dos quadrados de e . - O limite pedido é quando
se aproxima de , isto é, quando o ponto se aproxima do círculo de raio centrado na origem (a curva dada por ). - A função está definida para todos os pares
.
Passo 2
Observação útil (mudança para coordenadas polares): defina
Aqui
é a distância do ponto
à origem e
é o ângulo polar. Ao escrever
e
assim, a soma
vira simplesmente
.
Substituindo na função:
Explicando: isso mostra que
depende unicamente de
(da distância ao centro), não do ângulo
.
Passo 3
Calcular o limite usando a expressão em termos de
. Quando
temos
, ou seja
(como
). Assim
Explicação didática: como
é uma expressão polinomial em
, é contínua; portanto podemos simplesmente substituir
no limite. Isso vale independentemente da direção pela qual
chega a
(isto é, independente de
).
Passo 4
Informação sobre o sinal e o modo de aproximação (detalhe importante para a prova):
- Se
(ou seja ), então
portanto os valores de
são positivos e, ao fazer
,
tende para
por valores positivos — escrevemos
.
- Se
(ou seja ), então
portanto os valores de
são negativos e, ao fazer
,
tende para
por valores negativos — escrevemos
.
- Se
(ou seja ), então
ou seja exatamente sobre o círculo
a função vale
.
Um exemplo numérico rápido para fixar:
- Para
temos e . - Para
temos e .
Ambos os exemplos mostram que ao aproximar-se do raio, se aproxima de , vindo de cima (positivo) ou de baixo (negativo), conforme o caso.
Passo 5
Interpretação geométrica curta (útil para visualizar na prova):
- O gráfico de
é um paraboloide voltado para baixo com vértice em . - A interseção desse paraboloide com o plano
é o círculo (raio ). Logo, quando se aproxima desse círculo, o ponto da superfície se aproxima da altura sobre esse círculo. - As curvas de nível
são círculos ; quando , esses círculos tendem ao círculo de raio .
Passo 6
Resumo prático para usar na prova: ao ver
em
, substitua
e avalie
em
. O resultado é
, e lembrar do detalhe do sinal conforme venha de dentro ou fora do círculo pode salvar pontos.
Resposta
Quando
tem-se
.
Se então
e tende a
.
Se então
e tende a
.
Para vale
.
Se
Se
Para