Considere a função:
z=4-x^{2}-y^{2}
Determine as curvas de nível para \boldsymbol{z}=0,1,2,3.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z=4-x^{2}-y^{2}
e pede: determinar as curvas de nível para \boldsymbol{z}=0,1,2,3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de z em função de x e y é \,z=4-x^{2}-y^{2}.
  • Precisamos encontrar, para cada valor fixo de z igual a 0, 1, 2 e 3, o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem a equação da superfície com esse valor de z.

Passo 2

O que é uma curva de nível (explicação didática):
  • Para uma função de duas variáveis f(x,y), a curva de nível para um valor fixo c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c.
  • No nosso caso, f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}. Então a curva de nível para um número c é o conjunto de (x,y) que satisfazem
4-x^{2}-y^{2}=c.
  • Vou usar essa definição diretamente substituindo c por cada valor pedido.

Passo 3

Derivação algébrica geral (passo a passo):
  • Partindo de
4-x^{2}-y^{2}=c,
rearranjo os termos para isolar a soma de quadrados:
x^{2}+y^{2}=4-c.
  • Essa equação é a equação padrão de um círculo centrado na origem (0,0) com raio \sqrt{4-c}, desde que o lado direito seja não negativo.
Explicando as partes:
  • x^{2}+y^{2} é a expressão que mede o quadrado da distância do ponto (x,y) à origem.
  • 4-c é o quadrado do raio do círculo. Para existir pontos reais, é necessário que 4-c\geq0, isto é, c\leq4.

Passo 4

Aplicando para cada valor pedido e interpretando geometricamente:
  • Para z=0: substituir c=0 em \,x^{2}+y^{2}=4-c
x^{2}+y^{2}=4.
Isto é um círculo centrado em (0,0) de raio
r=\sqrt{4}=2.
Uma forma paramétrica útil (se quiser desenhar) é
x=2\cos t,\qquad y=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
  • Para z=1: substituir c=1
x^{2}+y^{2}=3.
É um círculo centrado em (0,0) de raio
r=\sqrt{3}\approx1,732.
Forma paramétrica:
x=\sqrt{3}\cos t,\qquad y=\sqrt{3}\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
  • Para z=2: substituir c=2
x^{2}+y^{2}=2.
É um círculo centrado em (0,0) de raio
r=\sqrt{2}\approx1,414.
Forma paramétrica:
x=\sqrt{2}\cos t,\qquad y=\sqrt{2}\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
  • Para z=3: substituir c=3
x^{2}+y^{2}=1.
É um círculo centrado em (0,0) de raio
r=\sqrt{1}=1.
Forma paramétrica:
x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).

Passo 5

Observações finais e intuição geométrica (ajuda para a prova):
  • Todas as curvas de nível pedidas são círculos concêntricos com centro na origem. À medida que z aumenta (de 0 para 3), o raio do círculo diminui, porque r=\sqrt{4-z}.
  • O ponto mais alto da superfície ocorre em z=4, onde r=0 (apenas o ponto (0,0)). Se pedissem z>4, não haveria pontos reais na curva de nível (pois 4-c<0).
  • Se precisar representar rapidamente no rascunho da prova: desenhe círculos centrados na origem com raios 2,\sqrt{3},\sqrt{2},1 e rotule com os respectivos valores de z.

Resposta

z=0:\\ x^{2}+y^{2}=4 (círculo centrado em (0,0), raio 2).
z=1:\\ x^{2}+y^{2}=3 (círculo centrado em (0,0), raio \sqrt{3}).
z=2:\\ x^{2}+y^{2}=2 (círculo centrado em (0,0), raio \sqrt{2}).
z=3:\\ x^{2}+y^{2}=1 (círculo centrado em (0,0), raio 1).

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