Considere a função:
Determine as curvas de nível para
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: determinar as curvas de nível para
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
em função de e é . - Precisamos encontrar, para cada valor fixo de
igual a , , e , o conjunto de pontos que satisfazem a equação da superfície com esse valor de .
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação didática):
- Para uma função de duas variáveis
, a curva de nível para um valor fixo é o conjunto de pontos tais que
- No nosso caso,
. Então a curva de nível para um número é o conjunto de que satisfazem
- Vou usar essa definição diretamente substituindo
por cada valor pedido.
Passo 3
Derivação algébrica geral (passo a passo):
- Partindo de
rearranjo os termos para isolar a soma de quadrados:
- Essa equação é a equação padrão de um círculo centrado na origem
com raio , desde que o lado direito seja não negativo.
Explicando as partes:
-
é a expressão que mede o quadrado da distância do ponto à origem. -
é o quadrado do raio do círculo. Para existir pontos reais, é necessário que , isto é, .
Passo 4
Aplicando para cada valor pedido e interpretando geometricamente:
- Para
: substituir em dá
Isto é um círculo centrado em
de raio
Uma forma paramétrica útil (se quiser desenhar) é
- Para
: substituir dá
É um círculo centrado em
de raio
Forma paramétrica:
- Para
: substituir dá
É um círculo centrado em
de raio
Forma paramétrica:
- Para
: substituir dá
É um círculo centrado em
de raio
Forma paramétrica:
Passo 5
Observações finais e intuição geométrica (ajuda para a prova):
- Todas as curvas de nível pedidas são círculos concêntricos com centro na origem. À medida que
aumenta (de para ), o raio do círculo diminui, porque . - O ponto mais alto da superfície ocorre em
, onde (apenas o ponto ). Se pedissem , não haveria pontos reais na curva de nível (pois ). - Se precisar representar rapidamente no rascunho da prova: desenhe círculos centrados na origem com raios
e rotule com os respectivos valores de .