Dada a função:
f(x, y)=x^{2}-y^{2}
(a) Determine as curvas de nível f(x, y)=k.
(b) Descreva o formato dessas curvas no plano.
(c) Explique o que essas curvas indicam sobre o comportamento da função.

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(x,y)=x^{2}-y^{2}\, e pede três coisas:
  • (a) Determinar as curvas de nível \,f(x,y)=k\,, isto é as curvas no plano (x,y) sobre as quais a função tem valor constante igual a k.
  • (b) Descrever o formato geométrico dessas curvas no plano.
  • (c) Explicar o que essas curvas revelam sobre o comportamento da função (como ela cresce/decresce, que tipo de ponto crítico existe na origem etc.).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f que permite escrever a equação da curva de nível como \,x^{2}-y^{2}=k\, para um parâmetro real \,k.

Passo 2

Definição e montagem da equação de nível.
Uma curva de nível para valor \,k\in\mathbb{R}\, é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
x^{2}-y^{2}=k
Aqui k é um número fixo. Vamos estudar essa equação separando os casos possíveis para k: positivo, negativo e zero. Isso é útil porque a natureza da equação muda conforme o sinal de k.

Passo 3

Caso \,k>0.
Reescrever a equação em forma canônica de hipérbole. Dividindo ambos os lados por k (positivo) temos
\frac{x^{2}}{k}-\frac{y^{2}}{k}=1
Esta é a forma padrão de uma hipérbole com centro na origem, eixos principais alinhados com os eixos coordenados. Podemos escrever \,a^{2}=k e \,b^{2}=k, então
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\quad\text{com}\quad a=b=\sqrt{k}.
Propriedades imediatas:
  • As hipérboles têm dois ramos abertos ao longo do eixo x (um para x>0 e outro para x<0).
  • Os vértices (pontos mais próximos da origem em cada ramo) são \,(x,y)=(\pm\sqrt{k},0)\,.
  • As assíntotas da hipérbole são dadas por \,y=\pm x\,, pois quando |x| e |y| são grandes a constante k se torna desprezível e a equação tende para \,x^{2}-y^{2}=0, isto é (x-y)(x+y)=0.

Passo 4

Caso \,k<0.
Escrevendo k=-m com m>0, a equação fica
x^{2}-y^{2}=-m
que pode ser rearranjada como
\frac{y^{2}}{m}-\frac{x^{2}}{m}=1.
Esta é novamente uma hipérbole centrada na origem, mas agora com os ramos abertos ao longo do eixo y (um ramo para y>0 e outro para y<0). Usando a^{2}=m e b^{2}=m obtemos a forma
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\quad\text{com}\quad a=b=\sqrt{m}=\sqrt{-k}.
Propriedades:
  • Vértices em \,(0,\pm\sqrt{-k}).
  • As assíntotas continuam sendo \,y=\pm x\, (mesma razão de que para grandes coordenadas a constante é desprezível).

Passo 5

Caso \,k=0.
A equação de nível fica
x^{2}-y^{2}=0
fatorando:
(x-y)(x+y)=0
Portanto a curva de nível para k=0 é o par de retas
y=x\quad\text{e}\quad y=-x.
Essas retas são exatamente as assíntotas das hipérboles dos outros níveis e cruzam a origem.

Passo 6

Resumo geométrico (resposta à parte (b)) — descrição clara e intuitiva.
  • Para \,k>0: curvas de nível são hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo x, centradas na origem, simétricas em relação aos eixos e à origem. Vértices em (\pm\sqrt{k},0). Assíntotas \,y=\pm x.
  • Para \,k<0: curvas de nível são hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo y. Vértices em (0,\pm\sqrt{-k}). Assíntotas \,y=\pm x.
  • Para \,k=0: a curva de nível é o par de retas \,y=\pm x.

Passo 7

O que as curvas indicam sobre o comportamento da função (resposta à parte (c)).
  1. Crescimento e decrescimento em direções coordenadas:
  • Se nos movemos ao longo do eixo x (i.e. y=0), a função reduz-se a \,f(x,0)=x^{2}, que cresce quando |x| aumenta; logo a função cresce nas direções (\pm 1,0).
  • Se nos movemos ao longo do eixo y (i.e. x=0), a função reduz-se a \,f(0,y)=-y^{2}, que decresce (fica cada vez mais negativo) quando |y| aumenta; logo a função decresce nas direções (0,\pm 1).
  1. Ponto crítico na origem e natureza do ponto:
  • O gradiente é
\nabla f(x,y)=(2x,\,-2y).
Em (0,0) tem-se \nabla f(0,0)=(0,0), logo a origem é ponto crítico.
  • A matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}
com autovalores 2 e -2, sinais opostos. Isso caracteriza um ponto de sela (saddle point). Intuição: em algumas direções (eixo x) a função sobe; em outras (eixo y) desce.
  1. Interpretação via curvas de nível:
  • As curvas de nível são hipérboles que mostram que para valores positivos de k a função assume esses valores afastando-se da origem principalmente na direção x, enquanto para valores negativos de k os níveis correspondentes afastam-se na direção y.
  • O fato de as curvas de nível para valores pequenos (próximos a zero) estarem muito próximas das retas \,y=\pm x\, reflete que em direções próximas a essas retas a função muda rapidamente de sinal (passa de positiva para negativa), característica típica de uma sela.]

Passo 8

Exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição:
  • Para k=1: equação \,x^{2}-y^{2}=1. Temos vértices em (\pm1,0) e ramos horizontais. Soluções reais em y=\pm\sqrt{x^{2}-1} para |x|\ge 1.
  • Para k=-1: equação \,x^{2}-y^{2}=-1 ou \,y^{2}-x^{2}=1. Vértices em (0,\pm1) e ramos verticais. Soluções reais em x=\pm\sqrt{y^{2}-1} para |y|\ge 1.
  • Para k=0: retas \,y=\pm x.

Resposta

(a) \;x^{2}-y^{2}=k para k\in\mathbb{R}. Para k>0 isso é a hipérbole \dfrac{x^{2}}{k}-\dfrac{y^{2}}{k}=1; para k<0 é a hipérbole \dfrac{y^{2}}{-k}-\dfrac{x^{2}}{-k}=1; para k=0 são as retas y=x e y=-x.\n
(b) Para k>0: hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo x, vértices em (\pm\sqrt{k},0), assíntotas y=\pm x. Para k<0: hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo y, vértices em (0,\pm\sqrt{-k}), assíntotas y=\pm x. Para k=0: par de retas y=\pm x.\n
(c) As curvas de nível mostram que a origem é um ponto de sela: f aumenta ao longo do eixo x e diminui ao longo do eixo y. O gradiente \nabla f=(2x,-2y) é ortogonal às curvas de nível e a Hessiana com autovalores de sinais opostos confirma a natureza de sela.

Exercícios relacionados