Dada a função:
(a) Determine as curvas de nível
.
(b) Descreva o formato dessas curvas no plano.
(c) Explique o que essas curvas indicam sobre o comportamento da função.
(b) Descreva o formato dessas curvas no plano.
(c) Explique o que essas curvas indicam sobre o comportamento da função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede três coisas:
- (a) Determinar as curvas de nível
, isto é as curvas no plano sobre as quais a função tem valor constante igual a . - (b) Descrever o formato geométrico dessas curvas no plano.
- (c) Explicar o que essas curvas revelam sobre o comportamento da função (como ela cresce/decresce, que tipo de ponto crítico existe na origem etc.).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
que permite escrever a equação da curva de nível como
para um parâmetro real
.
Passo 2
Definição e montagem da equação de nível.
Uma curva de nível para valor é o conjunto de pontos
que satisfazem
Uma curva de nível para valor
Aqui
é um número fixo. Vamos estudar essa equação separando os casos possíveis para
: positivo, negativo e zero. Isso é útil porque a natureza da equação muda conforme o sinal de
.
Passo 3
Caso
.
Reescrever a equação em forma canônica de hipérbole. Dividindo ambos os lados por (positivo) temos
Reescrever a equação em forma canônica de hipérbole. Dividindo ambos os lados por
Esta é a forma padrão de uma hipérbole com centro na origem, eixos principais alinhados com os eixos coordenados. Podemos escrever
e
, então
Propriedades imediatas:
- As hipérboles têm dois ramos abertos ao longo do eixo
(um para e outro para ). - Os vértices (pontos mais próximos da origem em cada ramo) são
. - As assíntotas da hipérbole são dadas por
, pois quando e são grandes a constante se torna desprezível e a equação tende para , isto é .
Passo 4
Caso
.
Escrevendo com
, a equação fica
Escrevendo
que pode ser rearranjada como
Esta é novamente uma hipérbole centrada na origem, mas agora com os ramos abertos ao longo do eixo
(um ramo para
e outro para
). Usando
e
obtemos a forma
Propriedades:
- Vértices em
. - As assíntotas continuam sendo
(mesma razão de que para grandes coordenadas a constante é desprezível).
Passo 5
Caso
.
A equação de nível fica
A equação de nível fica
fatorando:
Portanto a curva de nível para
é o par de retas
Essas retas são exatamente as assíntotas das hipérboles dos outros níveis e cruzam a origem.
Passo 6
Resumo geométrico (resposta à parte (b)) — descrição clara e intuitiva.
- Para
: curvas de nível são hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo , centradas na origem, simétricas em relação aos eixos e à origem. Vértices em . Assíntotas . - Para
: curvas de nível são hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo . Vértices em . Assíntotas . - Para
: a curva de nível é o par de retas .
Passo 7
O que as curvas indicam sobre o comportamento da função (resposta à parte (c)).
- Crescimento e decrescimento em direções coordenadas:
- Se nos movemos ao longo do eixo
(i.e. ), a função reduz-se a , que cresce quando aumenta; logo a função cresce nas direções . - Se nos movemos ao longo do eixo
(i.e. ), a função reduz-se a , que decresce (fica cada vez mais negativo) quando aumenta; logo a função decresce nas direções .
- Ponto crítico na origem e natureza do ponto:
- O gradiente é
Em
tem-se
, logo a origem é ponto crítico.
- A matriz Hessiana é
com autovalores
e
, sinais opostos. Isso caracteriza um ponto de sela (saddle point). Intuição: em algumas direções (eixo
) a função sobe; em outras (eixo
) desce.
- Interpretação via curvas de nível:
- As curvas de nível são hipérboles que mostram que para valores positivos de
a função assume esses valores afastando-se da origem principalmente na direção , enquanto para valores negativos de os níveis correspondentes afastam-se na direção . - O fato de as curvas de nível para valores pequenos (próximos a zero) estarem muito próximas das retas
reflete que em direções próximas a essas retas a função muda rapidamente de sinal (passa de positiva para negativa), característica típica de uma sela.]
Passo 8
Exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição:
- Para
: equação . Temos vértices em e ramos horizontais. Soluções reais em para . - Para
: equação ou . Vértices em e ramos verticais. Soluções reais em para . - Para
: retas .
Resposta
(a)
para
. Para
isso é a hipérbole
; para
é a hipérbole
; para
são as retas
e
.\n
(b) Para : hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo
, vértices em
, assíntotas
. Para
: hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo
, vértices em
, assíntotas
. Para
: par de retas
.\n
(c) As curvas de nível mostram que a origem é um ponto de sela: aumenta ao longo do eixo
e diminui ao longo do eixo
. O gradiente
é ortogonal às curvas de nível e a Hessiana com autovalores de sinais opostos confirma a natureza de sela.
(b) Para
(c) As curvas de nível mostram que a origem é um ponto de sela: