(1 pt). Considere a funçio f definida por f(x)=x^{3}-4 x^{2}+5. Mostre que f(x)=10 tem pelo menos uma soluçio no intervalo (4,5).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x^{3}-4x^{2}+5
e pede para mostrar que a equação f(x)=10 tem pelo menos uma solução no intervalo (4,5).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão algébrica de f(x).
  • O intervalo onde devemos garantir a existência de solução: (4,5).
  • A equação a resolver/mostrar existência: f(x)=10.

Passo 2

Transformar o problema em procurar uma raiz de uma função que fique mais fácil de analisar. Defino
g(x)=f(x)-10.
Então f(x)=10 é equivalente a g(x)=0. Escrever g fica:
g(x)=x^{3}-4x^{2}+5-10 = x^{3}-4x^{2}-5.
Explicando o porquê dessa transformação: é comum passar de “achar x tal que f(x)= número” para “achar raiz de g(x)=f(x)-número”, porque trabalhar com mudança de sinal (positivo/negativo) nos permite usar teoremas sobre continuidade.

Passo 3

Calcular os valores de f (ou de g) nas extremidades do intervalo [4,5] — passo essencial para aplicar um teorema de existência.
Calcular f(4):
f(4)=4^{3}-4\cdot4^{2}+5=64-4\cdot16+5=64-64+5=5.
Portanto f(4)=5.
Calcular f(5):
f(5)=5^{3}-4\cdot5^{2}+5=125-4\cdot25+5=125-100+5=30.
Portanto f(5)=30.
Comparando com 10:
  • f(4)=5<10.
  • f(5)=30>10.
Em termos de g(x)=f(x)-10:
g(4)=f(4)-10=5-10=-5<0, \qquad g(5)=f(5)-10=30-10=20>0.

Passo 4

Apresentar e explicar o resultado teórico que vou usar (de forma didática):
Teorema (versão simples do Teorema do Valor Intermediário): se uma função h é contínua em um intervalo fechado [a,b] e h(a) e h(b) têm sinais opostos (ou mais geralmente, se um valor L fica entre h(a) e h(b)), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que h\text{(c)}=L.
O que significa cada coisa aqui:
  • h contínua em [a,b]: não tem “saltos” nem buracos no intervalo; polinômios são exemplos clássicos de funções contínuas em todo \mathbb{R}.
  • “Sinais opostos”: por exemplo h(a)<0<h(b) implica que a função mudou de negativo para positivo entre a e b.
  • A conclusão é existência de pelo menos um c\in(a,b) com h\text{(c)}=0 (no caso L=0).
Por que polinômios são contínuos (explicação curta e prática): operações como soma, subtração e multiplicação de funções contínuas geram funções contínuas; constantes e a função identidade x\mapsto x são contínuas; portanto qualquer polinômio (montado por soma e multiplicação de potências de x com constantes) é contínuo em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Aplicar o teorema ao nosso caso. Já vimos que g(x)=f(x)-10 é um polinômio, logo g é contínua em [4,5]. Também calculamos que
g(4)=-5<0\qquad\text{e}\qquad g(5)=20>0.
Como g(4) e g(5) têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um ponto c\in(4,5) tal que
g\text{(c)}=0.
Voltando à f, g\text{(c)}=0 é equivalente a f\text{(c)}=10. Assim concluímos que a equação f(x)=10 tem pelo menos uma solução em (4,5).

Passo 6

Observação adicional (útil para a prova): às vezes querem não só existência, mas unicidade. Para verificar unicidade aqui, pode-se checar a derivada de f:
f'(x)=3x^{2}-8x = x(3x-8).
Para x\ge 4 temos 3x-8\ge 12-8=4>0 e x>0, então f'(x)>0 em [4,5]. Derivada positiva significa que f é estritamente crescente em [4,5]. Uma função estritamente crescente que toma valores abaixo e acima de 10 só pode atingir 10 uma única vez. Logo, além de existir, essa solução é única em (4,5). (Isto é só um extra; a pergunta pedia apenas existência.)

Resposta

\exists\, c\in(4,5) tal que f\text{(c)}=10.

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