(1 pt). Considere a funçio
definida por
. Mostre que
tem pelo menos uma soluçio no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão algébrica de
. - O intervalo onde devemos garantir a existência de solução:
. - A equação a resolver/mostrar existência:
.
Passo 2
Transformar o problema em procurar uma raiz de uma função que fique mais fácil de analisar. Defino
Então
é equivalente a
. Escrever
fica:
Explicando o porquê dessa transformação: é comum passar de “achar
tal que
número” para “achar raiz de
número”, porque trabalhar com mudança de sinal (positivo/negativo) nos permite usar teoremas sobre continuidade.
Passo 3
Calcular os valores de
(ou de
) nas extremidades do intervalo
— passo essencial para aplicar um teorema de existência.
Calcular
:
Portanto
.
Calcular
:
Portanto
.
Comparando com
:
-
. -
.
Em termos de
:
Passo 4
Apresentar e explicar o resultado teórico que vou usar (de forma didática):
Teorema (versão simples do Teorema do Valor Intermediário): se uma função
é contínua em um intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos (ou mais geralmente, se um valor
fica entre
e
), então existe pelo menos um ponto
tal que
.
O que significa cada coisa aqui:
-
contínua em : não tem “saltos” nem buracos no intervalo; polinômios são exemplos clássicos de funções contínuas em todo . - “Sinais opostos”: por exemplo
implica que a função mudou de negativo para positivo entre e . - A conclusão é existência de pelo menos um
com (no caso ).
Por que polinômios são contínuos (explicação curta e prática): operações como soma, subtração e multiplicação de funções contínuas geram funções contínuas; constantes e a função identidade
são contínuas; portanto qualquer polinômio (montado por soma e multiplicação de potências de
com constantes) é contínuo em todo
.
Passo 5
Aplicar o teorema ao nosso caso. Já vimos que
é um polinômio, logo
é contínua em
. Também calculamos que
Como
e
têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um ponto
tal que
Voltando à
,
é equivalente a
. Assim concluímos que a equação
tem pelo menos uma solução em
.
Passo 6
Observação adicional (útil para a prova): às vezes querem não só existência, mas unicidade. Para verificar unicidade aqui, pode-se checar a derivada de
:
Para
temos
e
, então
em
. Derivada positiva significa que
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente que toma valores abaixo e acima de
só pode atingir
uma única vez. Logo, além de existir, essa solução é única em
. (Isto é só um extra; a pergunta pedia apenas existência.)