Considere a funçio f(x, y)=1raizy-x-1. Seja A=Dom(f), o dominio da função f.
A é conjunto Aberto ou Fechado? Justifique sua resposta;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y) = 1raizy - x - 1 . A primeira coisa que precisamos fazer é descobrir o domínio dessa função, ou seja, os pares (x, y) para os quais a função está bem definida. Depois, vamos ver se esse conjunto é aberto ou fechado. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre conjuntos abertos e fechados na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função f(x, y) . A função está na forma de uma fração com uma raiz quadrada no denominador. Para que essa expressão seja válida, dois pontos são importantes:
  1. O denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida.
  2. O que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior que zero, já que a raiz quadrada de números negativos não é real.
Então, vamos igualar o denominador a zero para encontrar onde a função não está definida:
y - x - 1 = 0 implies y = x + 1
Isso significa que a função não está definida quando y = x + 1 .

Passo 3

Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja positiva:
y - x - 1 > 0 implies y > x + 1
Portanto, o domínio A da função f é o conjunto de todos os pares (x, y) onde y é maior que x + 1 :
A = (x, y) in R^2 mid y > x + 1

Passo 4

Agora que temos o domínio A , precisamos determinar se ele é um conjunto aberto ou fechado.
  • Um conjunto aberto é aquele onde, para qualquer ponto dentro do conjunto, você pode encontrar uma “bolinha” ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto.
  • Um conjunto fechado inclui todos os seus pontos de fronteira.
No nosso caso, A é definido por y > x + 1 . A linha y = x + 1 é a fronteira onde a função deixa de ser definida.

Passo 5

Vamos verificar se a fronteira está incluída no conjunto A :
  • Na definição de A , temos y > x + 1 , o que não inclui a linha y = x + 1 .
  • Isso significa que pontos na fronteira não pertencem a A .
Como A não inclui sua fronteira e, para qualquer ponto em A , conseguimos uma pequena “bolinha” ao redor que também está dentro de A , concluímos que A é um conjunto aberto.

Resposta

O conjunto A = Dom(f) é um conjunto aberto.

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