Considere a funçio
. Seja
, o dominio da função
.
A é conjunto Aberto ou Fechado? Justifique sua resposta;
A é conjunto Aberto ou Fechado? Justifique sua resposta;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. A primeira coisa que precisamos fazer é descobrir o domínio dessa função, ou seja, os pares
para os quais a função está bem definida. Depois, vamos ver se esse conjunto é aberto ou fechado. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre conjuntos abertos e fechados na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. A função está na forma de uma fração com uma raiz quadrada no denominador. Para que essa expressão seja válida, dois pontos são importantes:
- O denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida.
- O que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior que zero, já que a raiz quadrada de números negativos não é real.
Então, vamos igualar o denominador a zero para encontrar onde a função não está definida:
Isso significa que a função não está definida quando
.
Passo 3
Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja positiva:
Portanto, o domínio
da função
é o conjunto de todos os pares
onde
é maior que
:
Passo 4
Agora que temos o domínio
, precisamos determinar se ele é um conjunto aberto ou fechado.
- Um conjunto aberto é aquele onde, para qualquer ponto dentro do conjunto, você pode encontrar uma “bolinha” ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto.
- Um conjunto fechado inclui todos os seus pontos de fronteira.
No nosso caso,
é definido por
. A linha
é a fronteira onde a função deixa de ser definida.
Passo 5
Vamos verificar se a fronteira está incluída no conjunto
:
- Na definição de
, temos , o que não inclui a linha . - Isso significa que pontos na fronteira não pertencem a
.
Como
não inclui sua fronteira e, para qualquer ponto em
, conseguimos uma pequena “bolinha” ao redor que também está dentro de
, concluímos que
é um conjunto aberto.
Resposta
O conjunto
é um conjunto aberto.