Resolva por integral por partes
integral e^-x cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^-x cos(x) , dx usando integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar identificar partes da integral que correspondem a u e dv na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser u e qual vai ser dv. Uma boa escolha ajuda a simplificar a integral. Vamos optar por:
u = e^-x e dv = cos(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
du = ddx(e^-x) , dx = -e^-x , dx
v = integral cos(x) , dx = sin(x)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^-x cos(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo u, v, e du:
= e^-x sin(x) - integral sin(x) (-e^-x) , dx
Simplificando:
= e^-x sin(x) + integral e^-x sin(x) , dx

Passo 5

Agora, temos uma nova integral: integral e^-x sin(x) , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolvê-la. Desta vez, escolhemos:
u = e^-x e dv = sin(x) , dx
Calculando du e v:
du = -e^-x , dx
v = -cos(x)

Passo 6

Aplicando a fórmula de novo:
integral e^-x sin(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= e^-x (-cos(x)) - integral (-cos(x)) (-e^-x) , dx
Simplificando:
= -e^-x cos(x) - integral e^-x cos(x) , dx

Passo 7

Agora, vamos substituir essa expressão na equação que tínhamos anteriormente:
integral e^-x cos(x) , dx = e^-x sin(x) + ( -e^-x cos(x) - integral e^-x cos(x) , dx )
Simplificando:
integral e^-x cos(x) , dx = e^-x sin(x) - e^-x cos(x) - integral e^-x cos(x) , dx

Passo 8

Agora, vamos somar integral e^-x cos(x) , dx dos dois lados para isolar a integral:
integral e^-x cos(x) , dx + integral e^-x cos(x) , dx = e^-x sin(x) - e^-x cos(x)
2 integral e^-x cos(x) , dx = e^-x (sin(x) - cos(x))

Passo 9

Dividindo ambos os lados por 2:
integral e^-x cos(x) , dx = e^-x (sin(x) - cos(x))2 + C

Resposta

A integral de e^-x cos(x) em relação a x é:
integral e^-x cos(x) , dx = e^-x (sin(x) - cos(x))2 + C
onde C é a constante de integração.

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