Uma maçã é resfriada de 21 a 4{ }^{\circ} \mathrm{C} por uma corrente de água fria ( 2{ }^{\circ} \mathrm{C} ). Sabendo: i) que a dimensão e propriedades termofísicas da maça: \mathrm{k}=0,35 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K} ; \rho=800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{c}=3,56 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, raio=3 cm; ii) que o fluxo de água entre as maçãs resulta em um coeficiente de transferência de calor por convecção igual a 3400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 o} \mathrm{C}, determine os tempos requeridos para que: a) o centro da maçã alcance a temperatura de 4^{\circ} \mathrm{C}; b) a seção situada a 1 cm da superfície da fruta alcance 4^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado trata do resfriamento transiente de uma maçã esférica de raio R=3\,\mathrm{cm}=0{,}03\,\mathrm{m}, inicialmente a T_i=21^\circ\mathrm{C}, submetida a um banho de água a T_\infty=2^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=3400\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}. As propriedades da maçã são
\displaystyle k=0{,}35\,\mathrm{W}/\mathrm{mK},\\ \rho=800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,\\ c=3{,}56\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kgK}=3560\,\mathrm{J}/\mathrm{kgK}.
O número de Biot é
Bi=\frac{h\,R}{k}=\frac{3400\cdot0{,}03}{0{,}35}\approx291\gg0{,}1,
logo não vale o método de capacidade térmica uniforme, mas como Bi\gg10 aproximamos a superfície à temperatura do fluido (condição de contorno de Dirichlet). Usamos a solução em série para uma esfera com T(R,t)=T_\infty, definindo a temperatura adimensional
\theta(r^*,Fo)=\frac{T(r,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty},
o número de Fourier
Fo=\frac{\alpha\,t}{R^2},
e a difusividade térmica
\alpha=\frac{k}{\rho\,c}.

Passo 2

Calculamos a difusividade térmica:
\alpha=\frac{0{,}35}{800\cdot3560}\approx1{,}229\times10^{-7}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 3

(a) Para o centro da esfera ( r^*=0) a solução em primeira aproximação é
\theta(0,Fo)\approx\frac{6}{\pi^2}\exp\bigl(-\pi^2\,Fo\bigr).
Queremos T(0,t)=4^\circ\mathrm{C}, logo
\theta(0,Fo)=\frac{4-2}{21-2}=\frac{2}{19}\approx0{,}1053.
Assim
\exp\bigl(-\pi^2\,Fo\bigr) =\theta(0,Fo)\,\frac{\pi^2}{6} \approx0{,}1053\cdot\frac{\pi^2}{6}\approx0{,}1733,
Fo=-\frac{1}{\pi^2}\ln(0{,}1733)\approx0{,}1776.
O tempo correspondente é
t=\frac{Fo\,R^2}{\alpha} =0{,}1776\cdot\frac{(0{,}03)^2}{1{,}229\times10^{-7}} \approx1{,}30\times10^3\,\mathrm{s}\approx21{,}7\,\mathrm{min}.

Passo 4

(b) Para o ponto a 1\,\mathrm{cm} da superfície temos r=R-0{,}01=0{,}02\,\mathrm{m} e r^*=r/R=0{,}6667. A primeira parcela da série dá
\theta(r^*,Fo)\approx \frac{2}{\pi\,r^*}\sin(\pi\,r^*)\exp\bigl(-\pi^2\,Fo\bigr).
Calculamos
\sin(\pi\,r^*)=\sin(2{,}094)=0{,}8660 e
\frac{2}{\pi\,r^*}=\frac{2}{\pi\cdot0{,}6667}\approx0{,}9553,
logo o coeficiente é 0{,}9553\cdot0{,}8660\approx0{,}8273. Igualando a \theta=0{,}1053:
\exp\bigl(-\pi^2\,Fo\bigr) =\frac{0{,}1053}{0{,}8273}\approx0{,}1273,
Fo=-\frac{1}{\pi^2}\ln(0{,}1273)\approx0{,}2087,
t=\frac{Fo\,R^2}{\alpha} =0{,}2087\cdot\frac{(0{,}03)^2}{1{,}229\times10^{-7}} \approx1{,}53\times10^3\,\mathrm{s}\approx25{,}5\,\mathrm{min}.

Resposta

O centro da maçã atinge 4^\circ\mathrm{C} em aproximadamente 21,7 minutos, e a seção a 1\,\mathrm{cm} da superfície em aproximadamente 25,5 minutos.

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